• 【NOIP2014提高组】解方程


    题目传送门:https://www.luogu.org/problem/show?pid=2312 (习惯性放洛谷的链接)

    这一题看起来数据范围巨大无比,需要使用各种玄学方法,看了题解后整个人懵逼了....

    对于30%的数据,$0<n≤2$,$|a_{i}|≤100$,$a_{n}!=0$,$m<100$。

    该数据范围直接高精度,在$[1,m]$的范围内暴力枚举即可。时间复杂度为$O(n*m*len^{2})$,其中$len$表示高精度计算过程中数字的位数。

    对于50%的数据:$0<n<=100$,$|ai|<=10^{100}$,$a_{n} eq 0$,$m<100$。

    我们考虑用秦九昭算法对计算进行加速,秦九昭算法思路如图:

    该算法目的为在求一元$n$次多项式的值时,将求值需要经过$n^{2}$次乘法和$n$次加法降低至$n$次乘法和$n$次加法。

    通过此方法化简,时间复杂度被降低一个$len$。即可拿到50分。

    对于100%的数据:$0<n leqslant 100$,$|ai| leqslant 10^{10000}$,$a_{n} eq 0$,$m<1000000$。

    我们考虑将高精度的过程去掉。

    考虑到同余的某些性质,我们可以对方程的两边对$p$取模($p$为质数),若x满足$(sum _{0}^n a_{i}x^i) =0$,则其必然满足$sum _{0}^n a_{i}x^i$ ≡ 0 (mod p)。

    根据同余性质,可将其进一步化简为$sum _{0}^n (a_{i}x^i mod p ) equiv  0 (mod p)$,借助该方法,在枚举x值的过程中便不需要使用高精度计算了。

    如果逆着推上面的式子,会发现存在有x,使得$sum _{0}^n (a_{i}x^i mod p ) equiv  0 (mod p)$,但$(sum _{0}^n a_{i}x^i) eq 0$。为了避免推出不可行解,首先$p$尽可能地取大,其次是多选几个$p$分别进行取模,降低通过逆定理求出错误的$x$的概率(我比较懒只对一个大质数取模,结果过掉了)

     1 #include<bits/stdc++.h>
     2 #define M 2000000
     3 #define MOD 100000007
     4 #define L long long
     5 using namespace std;
     6 L rd(){
     7     int zf=1; char c; L k=0;
     8     for(c=getchar();!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') zf=-1;
     9     for(;isdigit(c);c=getchar()) k=(k*10+c-'0')%MOD;
    10     return k*zf;
    11 }
    12 L a[M]={0},n,m,p[M]={0},ans=0;
    13 bool check(int x){
    14     L sum=0;
    15     for(int i=n;i>=0;i--)
    16     sum=(a[i]+sum+MOD)*x%MOD;
    17     return sum==0;
    18 }
    19 int main(){
    20     cin>>n>>m;
    21     for(int i=0;i<=n;i++) a[i]=rd();
    22     for(int i=1;i<=m;i++) if(check(i)){
    23         ans++; p[i]=1;
    24     }
    25     printf("%d
    ",ans);
    26     for(int i=1;i<=m;i++) if(p[i])
    27     printf("%d
    ",i);
    28 }
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/xiefengze1/p/7755600.html
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