【jxoi2018】游戏 组合数学

首先令$n=r-l+1$。

令$k$表示区间$[l,r]$中存在多少个数$x$，使得$x$不存在小于$x$且在区间$[l,r]$中的因数，我们把包含这些数的数集称为$S$

我们来先想一个$O(nk)$的$min-max$容斥做法吧。。。。。

显然这一题我们可以转化为min-max容斥的模型（将这k个数选完期望需要选多少次）

$max_{S}=sum_{T∈S}(-1)^{|T+1|}min_{T}$。

令$P_x=sum_{T∈S and |T|=x} min_{T}$。

我们推一推式子就会发现$P_i=x!(n-x)!sum_{i=1}{n-k+1}iinom{n-i}{k-i}$。

然后我们发现这个式子是$O(n^2)$的，而且非常难以推出。

代码如下（这个代码可能有点假）

#include<bits/stdc++.h>
#define L long long
#define MOD 1000000007
#define M 10000005
using namespace std;

L pow_mod(L x,L k){L ans=1; for(;k;k>>=1,x=x*x%MOD) if(k&1) ans=ans*x%MOD; return ans;}
L fac[M]={0},invfac[M]={0};
L C(int n,int m){return fac[n]*invfac[m]%MOD*invfac[n-m]%MOD;}

int vis[M]={0}; 
int n,k=0;

L p[M]={0};

int main(){
    fac[0]=1; for(int i=1;i<M;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%MOD;
    invfac[M-1]=pow_mod(fac[M-1],MOD-2);
    for(int i=M-2;~i;i--) invfac[i]=invfac[i+1]*(i+1)%MOD;
    
    int l,r; cin>>l>>r; n=r-l+1;
    for(int i=l;i<=r;i++){
        if(vis[i]) continue;
        k++;
        for(int j=i;j<=r;j+=i) vis[j]=1;
    }
    
    for(int x=1;x<=k;x++){
        L now=0;
        for(int i=1;i<=n-x+1;i++){
            L s=i;
            for(int j=1;j<x;j++) s=s*(n-i-j+1)%MOD;
            now=(now+s)%MOD;
        }
        p[x]=now*x%MOD*fac[n-x]%MOD;
    }
    L ans=0;
    for(L x=1,zf=1;x<=k;x++,zf=-zf){
        ans=(ans+zf*p[x]*C(k,x)%MOD+MOD)%MOD;
    }
    cout<<ans<<endl;
}

考虑一些简单的方法

我们考虑回题目中的枚举排列。令$F_i$表示 $t(p)=i$的排列个数，那么答案显然为$sum_{i=k}^{n}F_i$

不难发现，一种$t(p)=i$的排列，其前$i-1$项中必包含有数集$S$中$k-1$个数，且第i个数必为数集$S$中的数。

那么不难求出$F_i=k(n-k)!dfrac{i!}{(i-k)!}$

答案即为$k(n-k)!sum_{i=k}^{n} dfrac{i!}{(i-k)!}$

随便求一求就好了

#include<bits/stdc++.h>
#define L long long
#define MOD 1000000007
#define M 10000005
using namespace std;

L pow_mod(L x,L k){L ans=1; for(;k;k>>=1,x=x*x%MOD) if(k&1) ans=ans*x%MOD; return ans;}
L fac[M]={0},invfac[M]={0};
L C(int n,int m){return fac[n]*invfac[m]%MOD*invfac[n-m]%MOD;}

int vis[M]={0}; 
int n,k=0;

L p[M]={0};

int main(){
    fac[0]=1; for(int i=1;i<M;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%MOD;
    invfac[M-1]=pow_mod(fac[M-1],MOD-2);
    for(int i=M-2;~i;i--) invfac[i]=invfac[i+1]*(i+1)%MOD;
    
    int l,r; cin>>l>>r; n=r-l+1;
    for(int i=l;i<=r;i++){
        if(vis[i]) continue;
        k++;
        for(int j=i;j<=r;j+=i) vis[j]=1;
    }
    L ans=k*fac[n-k]%MOD,sum=0;
    for(int i=k;i<=n;i++)
    sum=(sum+fac[i]*invfac[i-k])%MOD;
    cout<<ans*sum%MOD<<endl;
}