如果我们要设计关系型数据库的表模式，则很有可能会出现冗余，为了避免这种情况，我们需要一些规则，这些规则称为依赖。
函数依赖简单地说就是属性集A推导出属性集B，比如
给定这些规则之后，如果某个关系能够满足给定的函数依赖，则称关系R满足函数依赖F；
在下面我们会介绍一系列的范式以及分解算法；
函数依赖的分解合并规则
与
是等价的（可以互相转化的），第一个式子替换第二个式子称为合并规则，第二个式子替换第一个式子称为分解规则；
平凡函数依赖：如果A-->B，A是B的超集，则称此函数依赖为平凡的。
平凡依赖规则：如果A-->B，则可以将其变为A-->(B-A∩B)，这样可以消除冗余；
键的函数依赖定义：
(1)如果存在某个属性集，能够蕴含全部的属性；
(2)这个属性集的任意真子集都不能蕴含全部属性；
则称这个属性集为键；
函数依赖习题
平凡依赖规则
举例：name,age --->name,course, 根据平凡依赖规则，可以简化为 name,age -->course.
异常
如果一个关系的模式没有设计好，则会出现异常。异常的类型为：
(1)冗余：一个属性的值多次出现，比如：
(2)更新异常：上图的关系就存在更新异常，因为如果需要更新database这门课为database concept，则需要将左边的database全部更新为database concept；
(3)删除异常：上图的关系存在删除异常，因为将Avi、Hank、Sudarshan老师删除，则会出现database这门课消失了，但实际上数据库这门课永远不会消失，而只是老师辞职了。
属性闭包算法
举例：
闭包的应用
1.给定函数依赖集F1，是否可以推断出函数依赖f：A-->B？
只需要求出{A}+是否包含B，如果包含，则说明F1能够推断出f，否则不能；
举例：
2.判断某个属性集是否为键？
如果要证明属性集是超键，则只需要计算此属性集的闭包，看闭包中是否包含全部的属性；
但是如果需要证明属性集是候选键，则第一步需要证明是超键，第二步需要证明从属性集中任意去掉一个属性，此属性集就不是超键；
3.给出一些术语.
给定一个函数依赖集A；
A的基本集：和A等价的函数依赖集；
A的最小化基本集：满足(1)函数依赖的右边只有单个属性(2)删除任意一个函数依赖都不将是基本集(3)从函数依赖的左边删除任意一个属性，则不将是基本集；
4.投影函数依赖
给定一个关系和满足的函数依赖F，求对部分属性投影后，哪些函数依赖满足。
比如：原本属性为A,B,C的关系，投影到A,B后，还有哪些函数依赖成立？
简单地说就是：
(1)首先计算单属性的闭包，比如{A}的闭包为{B，C}，如果我们的投影为{A,B}，则需要包含A-->B，而不包含A-->C；（如果存在某个属性集能够蕴含所有属性，则我们就不需要再求此属性集的闭包）
(2)接着计算双属性，三属性，四属性.....；
(3)在求出的基本集中最小化；
--如果投影后的某个函数依赖能够通过投影后的其他函数依赖推出，则删除；
比如：{A-->C,A-->B,B-->C},删除A-->C,因为此函数依赖能够通过其他函数依赖推导；
--如果某个函数依赖A-->B，删除A中某个属性后仍然在投影的函数依赖中成立，则删除；
比如：投影后的函数依赖为{AC-->B,A-->B}，则把{AC-->B}删除，因为如果删除C即A-->B 能够从投影的函数依赖中推出；
举例：
5.判断无损分解
如果R1∩R2是R1或R2的超码，则R上的分解（R1，R2）是无损分解。
Armstrong公理
下面我们会说到BCNF分解和3NF分解，而分解也是有评判标准的：
(1)消除异常；
(2)无损连接：分解后再连接是否和原来的关系一致；
用chase检验法则；
(3)保持依赖：FD的投影在分解后的关系上成立，但是连接后的关系不满足原始FD；
BCNF满足(1)和(2)，3NF满足(1)(2)(3)
Chase检验法则
判断分解后再自然连接是否还是原始的关系；
思想：自然连接后的每个元组都属于原始关系；
如果将关系投影到Si后再进行自然连接，就会得到一个所有分量都不带下标的元组，这个元组不在R中，则连接为无损的；
举例：
保持依赖
思想：FD投影在分解的关系中成立，但是自然连接后不能满足原始的FD
举例：
BCNF
当关系满足如果R中非平凡的函数依赖的左边都是超键，则此关系R属于BCNF；
性质：任何一个二元关系都满足BCNF
证明：如果函数依赖集中存在A-->B,则我们可以说A-->AB,因此A一定是超键；
BCNF分解
注：BCNF分解是无损分解
while(找到违反BCNF的函数依赖){
找出违反BCNF的函数依赖A-->B，先计算A的闭包，且用A的闭包(除去A)替换B，并将其分解为{A+}和{AU(R-(A+)}; //比如A-->B ，而{A}+={A,B,C}，则用A-->BC替换A-->B;
求出分解后的关系满足的投影FD集合；
再看分解后的关系的FD集合是否满足BCNF，如果不满足，则继续分解。
}
举例：
3NF
注：3NF是能够无损连接且保持依赖；
放松了BCNF的要求，多出的一个条件为：如果A-->B,则B-A为候选键的一部分（即使在不同的候选键中），则满足3NF；
这里我们对上句中的红色标注部分进行解释，看一个例子：
比如：存在函数依赖A-->BC,{AB}{AC}分别为候选键，而BC-A={BC},B属于候选键{AB}，C属于候选键{AC},但是A-->BC仍然满足3NF；
主属性：一个属性属于某个候选键；
比如：{AC}为候选键，则A为主属性，C也为主属性；
3NF分解算法
举例：
1NF
每个属性都保持原子性；
2NF
满足1NF，且每一个非主属性都完全函数依赖于R的主码；
多值依赖
引入多值依赖的原因
从上图中可以知道，此关系的候选键为（name,street,city,title,year），因此不存在任何非平凡的函数依赖，因此遵守BCNF，但是我们可以很容易看出，（street、city）和（title、year）是独立的；放在一个关系中是冗余的；
因此多值依赖的产生就是源于此；我们可以将上图的关系根据4NF分解算法分解关系；
多值依赖（MVD）定义
A1A2....An-->-->B1B2....Bm，则说明
(1)给定A1A2...An的值，B1B2...Bm属性独立于（U-A-B）属性；
(2)给定R中的两个元组a、b，他们的A属性相同，则必然存在第三个元组c，使得c[A]=a[A]=b[A]，c[B]=a[B],c[U-A-B]=b[U-A-B]；
多值依赖性质
(0)多值依赖其实就是FD的升级，即如果A-->B成立，则A-->-->B也成立；
(1)平凡MVD：如果B是A的子集，则A-->-->B成立；
(2)附加平凡MVD：如果关系R（A,B）,则A-->-->B成立；
(3)传递MVD：如果A-->-->B,B-->-->C，则A-->-->C成立；
(4)MVD不满足分解规则：
(5)如果A-->-->B,则A-->-->(R-A-B)成立；
4NF
应用于MVD，而不是一般的FD；条件和BCNF差不多；
定义：如果存在非平凡的A-->-->B，且A一定是超键，则为4NF；
4NF分解算法
1.找违反4NF的MVD；
2.按照A-->-->B 分解为{AB} {R-A-B}；
3.计算投影FD；
4.继续找违反的MVD，分解.....；
总结：
