非对称加密算法RSA 学习
RSA加密算法是一种非对称加密算法。RSA是1977年由罗纳德·李维斯特（Ron Rivest）、阿迪·萨莫尔（Adi Shamir）和伦纳德·阿德曼（Leonard Adleman）一起提出的。当时他们三人都在麻省理工学院工作。RSA就是他们三人姓氏开头字母拼在一起组成的。
1973年，在英国政府通讯总部工作的数学家克利福德·柯克斯（Clifford Cocks）在一个内部文件中提出了一个相同的算法，但他的发现被列入机密，一直到1997年才被发表。
对极大整数做因数分解的难度决定了RSA算法的可靠性。 换言之，对一极大整数做因数分解愈困难，RSA算法愈可靠。假如有人找到一种快速因数分解的算法的话，那么用RSA加密的信息的可靠性就肯定会极度下降。 但找到这样的算法的可能性是非常小的。今天只有短的RSA钥匙才可能被强力方式解破。到目前为止，世界上还没有任何可靠的攻击RSA算法的方式。只要其钥匙的长度足够长，用RSA加密的信息实际上是不能被解破的。
一、举一个通俗易懂的例子
看一个数学小魔术：
让A写下一个任意3位数，并将这个数和91相乘；然后将积的最后三位数告诉B，这样B就可以计算出A写下的是什么数字了。
- 比如A写下的是123，并且A计算出123 * 91等于11193，并把结果的末三位193告诉B ；
- B只需要把193再乘以11，193 * 11 = 2123 末三位就是A写下的数字了；
道理很简单，91乘以11等于1001，而任何一个三位数乘以1001后，末三位显然都不变（例如123乘以1001就等于123123）。
知道原理后，可以构造一个定义域和值域更大的加密解密系统。
例如：
- 任意一个数乘以400000001后，末8位都不变，而400000001 = 19801 * 20201。于是A来乘以19801，B来乘以20201，又一个加密解密不对称的系统就构造好了；
- 甚至可以构造得更大一些 4000000000000000000000000000001 = 1199481995446957 * 3334772856269093，这样我们就成功构造了一个30位的加密系统；
如果仅仅按照上面的思路，如果对方知道原理，非常容易穷举出400000001这个目标值；RSA算法使用的是指数和取模运算，本质上就是上面这套思想。
此段落转载自：
如何用通俗易懂的话来解释非对称加密?
二、一句话：
对极大整数做因数分解的难度决定了RSA算法的可靠性。
三、RSA加密算法
3.1、维基百科——RSA加密算法
先看一下维基百科的算法描述：
公钥与私钥的产生
- 1、随意选择两个大的质数 p和 q，p不等于 q，计算 N=pq
- 2、根据欧拉函数，求得 r
r = φ(N) = φ(p)φ(q) = (p-1)(q-1)
- 3、选择一个小于r并与r互质的整数e，求得e关于r的模反元素，命名为d （ ed ≡ 1(mod r) 模反元素存在，当且仅当e与r互质 ）；
- 4、销毁p和q，此时 (N , e)是公钥，(N, d)为私钥；
加密消息
假设Bob想给Alice发送一个消息 n，他知道Alice产生的 N和 e ；用下面这个公式他可以将 n加密为 c ：
c ≡ n^e (mod N)
计算 c并不复杂。Bob算出 c后就可以将它传递给Alice。
解密消息
Alice得到Bob的消息 c后就可以利用她的密钥d来解码。可以用以下这个公式来将 c转换为 n：
n ≡ c^d (mod N)
此段落转载自：
维基百科——RSA加密算法
3.2、依照算法公式举个例子
依照算法公式来举个例子
1、随意选择两个大的质数 p和 q，p不等于 q，计算 N=pq
质数 定义：
除了1和该数自身外，无法被其他自然数整除的数。
举例：
p = 3；
q = 5;
N = 3*5 = 15;
2、根据欧拉函数，求得 r
r = φ(N) = φ(p)φ(q) = (p-1)(q-1)。
欧拉函数 定义：
欧拉函数 φ(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目。
例如：φ(8) = 4，因为1,3,5,7均和8互质。
举例：
r = φ(N) = φ(p)φ(q) = (p-1)(q-1) ;
r = φ(15) = φ(3)φ(5) = (3-1)(5-1) ;
r = 8
3、选择一个小于r并与r互质的整数e，求得e关于r的模反元素，命名为d （ ed ≡ 1(mod r) 模反元素存在，当且仅当e与r互质 ）；
互质 定义：
如果两个或两个以上的整数的最大公约数是 1，则称它们为互质
例如：1,3,5,7均和8互质
模反元素 定义：
如果两个正整数a和n互质，那么一定可以找到整数b，使得 ab-1 被n整除，或者说ab被n除的余数是1。
例如：比如3和5互质，3关于5的模反元素就可能是2，因为 (3*2)%5=1 。
举例：
// 选择一个小于r并与r互质的整数e (1,3,5,7均和8互质)：
e = 7;
// 求得e关于r的模反元素，命名为d （ ed ≡ 1(mod r) )
ed ≡ 1(mod r) ;
7*d ≡ 1(mod 8) ;
7*d%8 = 1;
// 这里取d = 15
d = 15；
4、销毁p和q，此时 (N , e)是公钥，(N, d)为私钥
// 公钥 (N , e)
( 15,7 )
// 私钥 (N, d)
( 15,15 )
5、加密
假设Bob想给Alice发送一个消息 n，他知道Alice产生的 N和 e ；用下面这个公式他可以将 n加密为 c
举例：
// 假设
n = 2;
// 计算c
c ≡ n^e (mod N) ;
(c^-1 * n^e)%N = 1 ;
(c^-1 * 2^7)%15 = 1 ;
//
c = 8；
6、解密
Alice得到Bob的消息 c后就可以利用她的密钥d来解码。可以用以下这个公式来将 c转换为 n：
举例：
// 计算n
n ≡ c^d (mod N)
n ≡ 8^15 (mod 15) ；
(n^-1 * 8^15)%15 = 1 ;
//
n = 2;
参考
如何用通俗易懂的话来解释非对称加密?
维基百科——RSA加密算法
RSA算法详解
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