P8257 [CTS2022] 普罗霍洛夫卡 解题报告

P8257 [CTS2022] 普罗霍洛夫卡 解题报告：

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题意

给定序列 \(a\)，\(m\) 次查询一个区间所有的子区间颜色数量异或和。

\(1\leqslant n,m\leqslant 4\times 10^5\)。

分析

扫描线一下就变成了区间加一，区间历史版本异或和查询。

异或具有自反性，一个全部是 \(x\) 的段异或值要么是 \(0\) 要么是 \(x\)，也就是我们可以在修改的时候更新历史版本异或和，查询的时候单独处理最后一次就好了。

手玩一下可以得到，对 \(x\) 加一，值会异或上 \(2^{\text{lowbit}(x)+1}-1\)。

再仔细观察一下，可以发现我们维护的序列递增，且相邻最多差 \(1\)。于是我们以块长 \(B=2^k\) 对序列分块，散块暴力重构，可以发现整块进行 \(B\) 次整体加一，某个位置异或的值大于 \(B\) 的事件只会发生 \(B\) 次，那么每个块暴力维护这些事件均摊是 \(O(1)\) 的。

而异或的值小于 \(B\) 的修改可以考虑提前预处理出结果，每个块维护一下整体加标记。直接预处理复杂度肯定不对，我们可以类似 sos dp 做到 \(B+\frac{B}{2}+\frac{B}{4}+\cdots=O(B)\) 的复杂度。

查询很简单，于是就做到了 \(O(n\sqrt n)\) 的时空复杂度，不难发现逐块处理空间可以做到线性。

代码

咕了，有时间写。