P6633 [ZJOI2020] 抽卡 解题报告

P6633 [ZJOI2020] 抽卡 解题报告：

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题意

给定一个大小为 \(n\) 的可重集，每次随机抽取一个数字（可以反复抽一个数），求组成一个长度为 \(k\) 的连续段的期望时间。

\(1\leqslant n\leqslant 2\times 10^5\)。

分析

考虑构建一个自动机模型，一共 \(2^n\) 个结点表示当前取到过的数字集合，容易发现一个 \(1\) 个数为 \(k\) 的结点有 \(k\) 个自环，以及 \(n-k\) 条出边。

可以发现答案是从全 \(0\) 状态走到任意结束态的期望路径长度，类似全概率公式，答案实际上是每个点被经过的概率乘期望停留时间之和。

由于图是分层的，可以算出走到 \(k\) 层任意结点的概率都是 \(\dfrac{1}{{n\choose k}}\)，期望停留时间为 \(\dfrac{n}{n-k}\)，我们只需要对于每一个 \(k\) 算出非终止状态的结点数量与其相乘即可。

发现值域不处于一个连续段的数字互不影响，将数字分割成若干连续段，最后使用分治 FFT 合并即可。

令 \(f_{i,j}\) 表示当前连续段考虑到第 \(i\) 个数字，选择了 \(j\) 个数字的非终止态数量，列出 dp 方程：

\[f_{i,j}=\begin{cases}f_{i-1,j-1}+f_{i-1,j}-f_{i-k-1,j-k}&i\geqslant 0\\ [j=0] & i=-1\end{cases} \]

这里将状态定义到 \(-1\) 的原因是便于 \(f_{k,k}\) 的定义。

将 dp 刻画成生成函数的形式：

\[F_i(x)=\begin{cases}(1+x)F_{i-1}(x)-x^kF_{i-k-1}(x)&i\geqslant 0\\1&i=-1\end{cases} \]

根据 P6811 「MCOI-02」Build Battle 建筑大师 中的技巧，观察到每次减 \(k+1\)，枚举用了多少次，于是可以算出走了多少次 \(-1\)，得到了 \(F_i(x)\) 的通项：

\[G_m(x)=\sum_{i=0}^{\lfloor\frac{m}{k+1}\rfloor}{i+m-(k+1)i\choose i}(-x^k)^i(1+x)^{m-(k+1)i}\\=\sum_{i=0}^{\lfloor\frac{m}{k+1}\rfloor}{m-ik\choose i}(-1)^ix^{ik}(1+x)^{m-(k+1)i}\\ F_m(x)=G_i(x)-x^kG_{i-k}(x) \]

减去后面的东西是因为 \(F_{-1}(x)\) 直接跳一步 \(x^k\) 是不合法的。

令 \(L=\lfloor\frac{m}{k+1}\rfloor,r_i={m-ik\choose i}(-1)^i,P(x)=x^k,Q(x)=(1+x)^{k+1}\)，那么：

\[G_m(x)=(1+x)^{m\bmod(k+1)}\sum_{i=0}^L P^i(x)Q^{L-i}(x)r_i \]

可以使用分治 FFT 分治计算后面那个求和式：

\[G'(x)=(\sum_{i=0}^{\lfloor\frac{L}{2}\rfloor}P^i(x)Q^{\lfloor\frac{L}{2}\rfloor-i}r_i)\times Q^{\lceil\frac{L}{2}\rceil}(x)\\+(\sum_{i=0}^{\lceil\frac{L}{2}\rceil} P^i(x)Q^{\lceil\frac{L}{2}\rceil}r_{\lfloor\frac{L}{2}\rfloor+i})\times P^{\lfloor\frac{L}{2}\rfloor}(x) \]

那么你只需要在分治 FFT 的时候维护一下 \(H_{l,r}\) 以及 \(Q^L(x)\) 即可。（与 \(P\) 做乘法直接平移就好了）

时间复杂度 \(O(n\log^2n)\)。

代码

注意长度 \(d\) 小于 \(k\) 的连续段也需要作为 \((1+x)^d\) 乘到答案里。（调了好久）

AC 代码