二分
一、二分
二分法,在一个单调有序的集合或函数中查找一个解,每次分为左右两部分,判断解在哪个部分中并调整上下界,直到找到目标元素,每次二分后都将舍弃一半的查找空间,因此效率很高
例如,对于在实数区间[L,R]内递增的连续函数f(x),求[L,R]内f(x)的零点J。J称为(x)在[L,R]内的零点,当且仅当满足:
任意L≤x<J,f(x)<0
任意J<x≤R,f(x)>0
f(J)=0
二分法的思想是不断将待求解区间平均分成两份,根据求解区间中点的情况来确定目标元素所在的区间,这样就把解的范围缩小了一半
设当前求解区间为 [ l , r ] , 它的中点为mid =( l+r )/2则有
若f(m)<0,则J∈[m,r];
若f(m)>0,则J∈[l,m];
若f(m)=0,则J=m
显然,二分算法的复杂度为O(二分次数×单次判定复杂度)
二、二分写法
1.整数定义域上的二分
【代码实现】
int Erfen(int l,int r) { int l=1,r=n,ans; while(l<=r) { int mid=(l+r)/2; //int mid=l+(r-l)/2; if(check(mid)) //若满足要求,记下答案,缩小范围 { ans=mid; l=mid+1; } else r=mid-1; } return ans; }
2.实数定义域上的二分
【代码实现】
int Erfen(double l,double r) { double eps=0.001; //根据题目 while(fabs(r-l)>eps) { double mid=(l+r)/2.0; if(check(mid)) r=mid; else l=mid; } return l; }
注意:eps设定要根据题目来,有时候太小,会陷入死循环
三、二分法常见模型
1.二分答案
最小值最大(或是最大值最小)问题,这类双最值问题常常选用二分法求解,也就是确定答案后,配合贪心、DP等其他算法检验这个答案是否合理,将最优化问题转换为判定性问题。例如,将长度为n的序列a分成最多m个连续段,求所有分法中每段和的最大值的最小是多少
【例题】 1436:数列分段II
2.二分查找
用具有单调性的布尔表达式求解分界点,比如在有序数列中求数字x的排名
3.代替三分
有时,对于一些单峰函数,我们可以用二分导函数的方法求解函数极值,这时通常将函数的定义域定义为整数域求解比较方便,此时dx可以直接取整数1
四、典型例题
1433:【例题1】愤怒的牛
三分法适用于求解凸性函数的极值问题,二次函数就是一个典型的单峰函数。
三分法与二分法一样,它会不断缩小答案所在的求解区间。二分法缩小区间利用的原理是函数的单调性,而三分法利用的则是函数的单峰性
设当前求解的区间为 [l,r] ,令 m=1+(l+r)/3 , m=r-(l+r)/3 , 接着我们计算这两个点的函数值f(m1),f(m2)之后我们将两点中函数值更优的那个点称为好点,函数值较差的那个点称为坏点。我们可以不停缩小求解区间,直至得出近似解
与二分一样,我们可以指定三分的次数,或是根据 r-1的值来终止
以求上凸单峰函数的最大值为例,三分的参考程序:
double l=0,r=1e9; while(r-l>=1e-3) { double m1=l+(r-l)/3; double m2=r-(r-l)/3; if(f(m1)<f(m2)) l=m1; else r=m2; }
注意:单峰函数强调严格的单调性