hdu 2643 Rank hdu 2512 一卡通大冒险 stirling (斯特灵数)的应用

hdu 2643
/*
 第二类Stirling数是把包含n个元素的集合划分为正好k个非空子集的方法的数目。
 递推公式为：
 S(n,k) = 0(n<k||k=0),
 S(n,n) = S(n,1) = 1,
 S(n,k) = S(n-1,k-1) + kS(n-1,k).
 */

#include<stdio.h>
#define LL long long
#define nmax 101
#define nnum 20090126LL
LL num[nmax][nmax], fac[nmax];
void init() {
	int i, j;
	for (i = 1, fac[0] = 1; i < nmax; i++) {
		fac[i] = fac[i - 1] * i % nnum;
	}
	for (i = 1; i < nmax; i++) {
		num[i][1] = 1;
		num[i][0] = 0;
	}
	for (i = 2; i < nmax; i++) {
		for (j = 1; j < nmax; j++) {
			if (i == j) {
				num[i][i] = 1;
			} else {
				num[i][j] = (num[i - 1][j - 1] + num[i - 1][j] * j) % nnum;
			}
		}
	}
}
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("in.data", "r", stdin);
#endif
	init();
	int T, N, i;
	LL res;
	while (scanf("%d", &T) != EOF) {
		while (T--) {
			scanf("%d", &N);
			for (i = 1, res = 0; i <= N; i++) {
				res += num[N][i] * fac[i];
				res %= nnum;
			}
			printf("%I64d\n", res);
		}
	}

	return 0;
}

hdu 2512

#include<stdio.h>
#define nmax 2001
#define nnum 1000
int num[nmax][nmax];
void init() {
	int i, j;
	for (i = 1; i < nmax; i++) {
		num[i][0] = 0, num[i][1] = 1;
	}
	for (i = 2; i < nmax; i++) {
		for (j = 1; j < nmax; j++) {
			if (i == j) {
				num[i][i] = 1;
				continue;
			}
			num[i][j] = (num[i - 1][j - 1] + num[i - 1][j] * j) % nnum;
		}
	}
}
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("in.data", "r", stdin);
#endif
	int n, x, i, res;
	init();
	while (scanf("%d", &n) != EOF) {
		while (n--) {
			scanf("%d", &x);
			for (i = 1, res = 0; i <= x; i++) {
				res += num[x][i];
				res %= nnum;
			}
			printf("%d\n", res);
		}
	}
	return 0;
}

小知识：

Bell数，又称为贝尔数。
是以埃里克·坦普尔·贝尔(Eric Temple Bell)为名的。

B(n)是包含n个元素的集合的划分方法的数目。

B(0) = 1, B(1) = 1, B(2) = 2, B(3) = 5,
B(4) = 15, B(5) = 52, B(6) = 203,...

递推公式为，
B(0) = 1,
B(n+1) = Sum(0,n) C(n,k)B(k). n = 1,2,...

其中，Sum(0,n)表示对k从0到n求和，C(n,k) = n!/[k!(n-k)!]

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Stirling数，又称为斯特灵数。
在组合数学，Stirling数可指两类数，都是由18世纪数学家James Stirling提出的。

第一类Stirling数是有正负的，其绝对值是包含n个元素的集合分作k个环排列的方法数目。

递推公式为，
S(n,0) = 0, S(1,1) = 1.
S(n+1,k) = S(n,k-1) + nS(n,k)。

第二类Stirling数是把包含n个元素的集合划分为正好k个非空子集的方法的数目。

递推公式为，
S(n,n) = S(n,1) = 1,
S(n,k) = S(n-1,k-1) + kS(n-1,k).
将n个有区别的球的球放入k个无标号的盒子中( n>=k>=1，且盒子不允许为空)的方案数就是stirling数.(即含 n 个元素的集合划分为 k 个集合的情况数)

　　递推公式:

　　S(n,k) = 0 (k > n)

　　S(n,1) = 1 (k = 1)

　　s(n,k)=1 (n=k)

　　S(n,k) = S(n-1,k-1)+k*S(n-1,k) (n >= k >= 2)

　　分析：设有n个不同的球，分别用b1,b2,...,bn表示。从中取出一个球bn，bn的放法有以下两种：

　　1.bn独占一个盒子，那么剩下的球只能放在k-1个盒子里，方案数为S（n-1,k-1);

　　2.bn与别的球共占一个盒子，那么可以将b1,b2,...,bn-1这n-1个球放入k个盒子里，然后将bn放入其中一个盒子中，方案数为k*S(n-1,m).


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bell数和stirling数的关系为，

每个贝尔数都是"第二类Stirling数"的和。

B(n) = Sum(1,n) S(n,k).

参考资料：http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=9059