矩阵求逆的几种方法总结（C++）

矩阵求逆运算有多种算法：

1. 伴随矩阵的思想，分别算出其伴随矩阵和行列式，再算出逆矩阵；
2. LU分解法（若选主元即为LUP分解法: Ax = b ==> PAx = Pb ==>LUx = Pb ==> Ly = Pb ==> Ux = y ，每步重新选主元），它有两种不同的实现；
   • A^-1=(LU)^-1=U^-1L^-1，将A分解为LU后，对L和U分别求逆，再相乘；
   • 通过解线程方程组Ax=b的方式求逆矩阵。b分别取单位阵的各个列向量，所得到的解向量x就是逆矩阵的各个列向量，拼成逆矩阵即可。

下面是这两种方法的c++代码实现，所有代码均利用常规数据集验证过。

文内程序旨在实现求逆运算核心思想，某些异常检测的功能就未实现（如矩阵维数检测、矩阵奇异等）。

注意：文中A阵均为方阵。

伴随矩阵法C++程序：

#include <iostream>
#include <ctime>    //用于产生随机数据的种子

#define N 3    //测试矩阵维数定义

//按第一行展开计算|A|
double getA(double arcs[N][N],int n)
{
    if(n==1)
    {
        return arcs[0][0];
    }
    double ans = 0;
    double temp[N][N]={0.0};
    int i,j,k;
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        for(j=0;j<n-1;j++)
        {
            for(k=0;k<n-1;k++)
            {
                temp[j][k] = arcs[j+1][(k>=i)?k+1:k];
                
            }
        }
        double t = getA(temp,n-1);
        if(i%2==0)
        {
            ans += arcs[0][i]*t;
        }
        else
        {
            ans -=  arcs[0][i]*t;
        }
    }
    return ans;
}

//计算每一行每一列的每个元素所对应的余子式，组成A*
void  getAStart(double arcs[N][N],int n,double ans[N][N])
{
    if(n==1)
    {
        ans[0][0] = 1;
        return;
    }
    int i,j,k,t;
    double temp[N][N];
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        for(j=0;j<n;j++)
        {
            for(k=0;k<n-1;k++)
            {
                for(t=0;t<n-1;t++)
                {
                    temp[k][t] = arcs[k>=i?k+1:k][t>=j?t+1:t];
                }
            }
            
            
            ans[j][i]  =  getA(temp,n-1);  //此处顺便进行了转置
            if((i+j)%2 == 1)
            {
                ans[j][i] = - ans[j][i];
            }
        }
    }
}

//得到给定矩阵src的逆矩阵保存到des中。
bool GetMatrixInverse(double src[N][N],int n,double des[N][N])
{
    double flag=getA(src,n);
    double t[N][N];
    if(0==flag)
    {
        cout<< "原矩阵行列式为0，无法求逆。请重新运行" <<endl;
        return false;//如果算出矩阵的行列式为0，则不往下进行
    }
    else
    {
        getAStart(src,n,t);
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            for(int j=0;j<n;j++)
            {
                des[i][j]=t[i][j]/flag;
            }
            
        }
    }
    
    return true;
}

int main()
{
    bool flag;//标志位，如果行列式为0，则结束程序
    int row =N;
    int col=N;
    double matrix_before[N][N]{};//{1,2,3,4,5,6,7,8,9};
    
    //随机数据，可替换
    srand((unsigned)time(0));
    for(int i=0; i<N ;i++)
    {
        for(int j=0; j<N;j++)
        {
            matrix_before[i][j]=rand()%100 *0.01;
        }
    }
    
    cout<<"原矩阵："<<endl;
    
    for(int i=0; i<N ;i++)
    {
        for(int j=0; j<N;j++)
        {
            //cout << matrix_before[i][j] <<" ";
            cout << *(*(matrix_before+i)+j)<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }
    
    
    double matrix_after[N][N]{};
    flag=GetMatrixInverse(matrix_before,N,matrix_after);
    if(false==flag)
        return 0;
    
    
    cout<<"逆矩阵："<<endl;
    
    for(int i=0; i<row ;i++)
    {
        for(int j=0; j<col;j++)
        {
            cout <<matrix_after[i][j] <<" ";
            //cout << *(*(matrix_after+i)+j)<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }
    
    GetMatrixInverse(matrix_after,N,matrix_before);
    
    cout<<"反算的原矩阵："<<endl;//为了验证程序的精度
    
    for(int i=0; i<N ;i++)
    {
        for(int j=0; j<N;j++)
        {
            //cout << matrix_before[i][j] <<" ";
            cout << *(*(matrix_before+i)+j)<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }
    
    
    return 0;
}

LU分解法C++程序：

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <ctime>

#define N 300

//矩阵乘法
double * mul(double A[N*N],double B[N*N])
{
    double *C=new double[N*N]{};
    for(int i=0;i<N;i++)
    {
        for(int j=0;j<N;j++)
        {
            for(int k=0;k<N;k++)
            {
                C[i*N+j] += A[i*N+k]*B[k*N+j];
            }
        }
    }

    //若绝对值小于10^-10,则置为0（这是我自己定的）
    for(int i=0;i<N*N;i++)
    {
        if(abs(C[i])<pow(10,-10))
        {
            C[i]=0;
        }
    }

    return C;
}

//LUP分解
void LUP_Descomposition(double A[N*N],double L[N*N],double U[N*N],int P[N])
{
    int row=0;
    for(int i=0;i<N;i++)
    {
        P[i]=i;
    }
    for(int i=0;i<N-1;i++)
    {
        double p=0.0d;
        for(int j=i;j<N;j++)
        {
            if(abs(A[j*N+i])>p)
            {
                p=abs(A[j*N+i]);
                row=j;
            }
        }
        if(0==p)
        {
            cout<< "矩阵奇异，无法计算逆" <<endl;
            return ;
        }

        //交换P[i]和P[row]
        int tmp=P[i];
        P[i]=P[row];
        P[row]=tmp;

        double tmp2=0.0d;
        for(int j=0;j<N;j++)
        {
            //交换A[i][j]和 A[row][j]
            tmp2=A[i*N+j];
            A[i*N+j]=A[row*N+j];
            A[row*N+j]=tmp2;
        }

        //以下同LU分解
        double u=A[i*N+i],l=0.0d;
        for(int j=i+1;j<N;j++)
        {
            l=A[j*N+i]/u;
            A[j*N+i]=l;
            for(int k=i+1;k<N;k++)
            {
                A[j*N+k]=A[j*N+k]-A[i*N+k]*l;
            }
        }

    }

    //构造L和U
    for(int i=0;i<N;i++)
    {
        for(int j=0;j<=i;j++)
        {
            if(i!=j)
            {
                L[i*N+j]=A[i*N+j];
            }
            else
            {
                L[i*N+j]=1;
            }
        }
        for(int k=i;k<N;k++)
        {
            U[i*N+k]=A[i*N+k];
        }
    }

}

//LUP求解方程
double * LUP_Solve(double L[N*N],double U[N*N],int P[N],double b[N])
{
    double *x=new double[N]();
    double *y=new double[N]();

    //正向替换
    for(int i = 0;i < N;i++)
    {
        y[i] = b[P[i]];
        for(int j = 0;j < i;j++)
        {
            y[i] = y[i] - L[i*N+j]*y[j];
        }
    }
    //反向替换
    for(int i = N-1;i >= 0; i--)
    {
        x[i]=y[i];
        for(int j = N-1;j > i;j--)
        {
            x[i] = x[i] - U[i*N+j]*x[j];
        }
        x[i] /= U[i*N+i];
    }
    return x;
}

/*****************矩阵原地转置BEGIN********************/

/* 后继 */
int getNext(int i, int m, int n)
{
  return (i%n)*m + i/n;
}

/* 前驱 */
int getPre(int i, int m, int n)
{
  return (i%m)*n + i/m;
}

/* 处理以下标i为起点的环 */
void movedata(double *mtx, int i, int m, int n)
{
  double temp = mtx[i]; // 暂存
  int cur = i;    // 当前下标
  int pre = getPre(cur, m, n);
  while(pre != i)
  {
    mtx[cur] = mtx[pre];
    cur = pre;
    pre = getPre(cur, m, n);
  }
  mtx[cur] = temp;
}

/* 转置，即循环处理所有环 */
void transpose(double *mtx, int m, int n)
{
  for(int i=0; i<m*n; ++i)
  {
    int next = getNext(i, m, n);
    while(next > i) // 若存在后继小于i说明重复,就不进行下去了（只有不重复时进入while循环）
      next = getNext(next, m, n);
    if(next == i)  // 处理当前环
      movedata(mtx, i, m, n);
  }
}
/*****************矩阵原地转置END********************/

//LUP求逆(将每列b求出的各列x进行组装)
double * LUP_solve_inverse(double A[N*N])
{
    //创建矩阵A的副本，注意不能直接用A计算，因为LUP分解算法已将其改变
    double *A_mirror = new double[N*N]();
    double *inv_A=new double[N*N]();//最终的逆矩阵（还需要转置）
    double *inv_A_each=new double[N]();//矩阵逆的各列
    //double *B    =new double[N*N]();
    double *b    =new double[N]();//b阵为B阵的列矩阵分量

    for(int i=0;i<N;i++)
    {
        double *L=new double[N*N]();
        double *U=new double[N*N]();
        int *P=new int[N]();

        //构造单位阵的每一列
        for(int i=0;i<N;i++)
        {
            b[i]=0;
        }
        b[i]=1;

        //每次都需要重新将A复制一份
        for(int i=0;i<N*N;i++)
        {
            A_mirror[i]=A[i];
        }

        LUP_Descomposition(A_mirror,L,U,P);

        inv_A_each=LUP_Solve (L,U,P,b);
        memcpy(inv_A+i*N,inv_A_each,N*sizeof(double));//将各列拼接起来
    }
    transpose(inv_A,N,N);//由于现在根据每列b算出的x按行存储，因此需转置

    return inv_A;
}

int main()
{
    double *A = new double[N*N]();

    srand((unsigned)time(0));
    for(int i=0; i<N ;i++)
    {
        for(int j=0; j<N;j++)
        {
            A[i*N+j]=rand()%100 *0.01;
        }
    }


    double *E_test = new double[N*N]();
    double *invOfA = new double[N*N]();
    invOfA=LUP_solve_inverse(A);

    E_test=mul(A,invOfA);    //验证精确度

    cout<< "矩阵A:" <<endl;
    for(int i=0;i<N;i++)
    {
        for(int j=0;j<N;j++)
        {
            cout<< A[i*N+j]<< " " ;
        }
        cout<<endl;
    }

    cout<< "inv_A:" <<endl;
    for(int i=0;i<N;i++)
    {
        for(int j=0;j<N;j++)
        {
            cout<< invOfA[i*N+j]<< " " ;
        }
        cout<<endl;
    }

    cout<< "E_test:" <<endl;    
    for(int i=0;i<N;i++)
    {
        for(int j=0;j<N;j++)
        {
            cout<< E_test[i*N+j]<< " " ;
        }
        cout<<endl;
    }

    return 0;
}

两种方法运行时间测试样例（运行环境不同可能会有不同结果，我的主频是2.6GHz,内存8g。时间单位：毫秒ms）

个人认为LU分解法的两个1ms其实是不准确的（实际应远小于1ms，有兴趣可以试试看）。

三种方法的复杂度分析：

1. 伴随矩阵法：此法的时间复杂度主要来源于计算行列式，由于计算行列式的函数为递归形式，其复杂度为O(n²)[参见这里]，而整体算法需要计算每个元素的代数余子式，时间复杂度直接扩大n²倍，变为O(n⁴)。而递归算法本身是需要占用栈空间的，因此需要注意：当矩阵的维数较大时，随着递归深度的加大，临时占用的空间将会越来越多，甚至可能会出现栈不够用的情况（当然本次实现没有遇到，因为此时的时间开销实在令人难以忍受）！
2. LU分解法：此法主要是分解过程耗时，求解三角矩阵的时间复杂度是O(n²)，分解过程是O(n³)，总体来说和高斯消元法差不多，但是避免了高斯消元法的主元素为0的过程。 为了节省空间，A=LU分解的元素存放在A的矩阵中（因为当用过了a[i][j]元素后，便不再用了，所以可以占用原矩阵A的空间）。但是有利就有弊，考虑如果是上千个元素的矩阵，引用传参，这样就改变原矩阵了，因此程序中使用A_mintor作为副本进行使用。另外，可以看出，当矩阵维数超过某值时，内存空间便不够用了（具体是多少没有试验）。还需注意的一点是：程序中未对矩阵是否奇异进行检查，如果矩阵奇异，就不应再进行下去了。
3. LU分解法中，还可以先分别求出U和L的逆，再相乘，此法其实与常规LU分解法差不多。

其他：

文章中用到了矩阵的原地转置算法，具体请参考第4篇文献，这种方法降低了空间复杂度。

需要注意的问题：

本文介绍的方法new了一些指针，未释放，会出现内存泄漏，使用前请释放掉。

本文参考了以下几篇文章：

• http://www.cnblogs.com/tianya2543/p/3999118.html 
• http://blog.csdn.net/cumtwyc/article/details/49980063 
• http://blog.csdn.net/xx_123_1_rj/article/details/39553809
• http://www.jb51.net/article/53715.htm