lightoj1132—Summing up Powers （取膜技巧&&组合数应用）

题目链接：https://vjudge.net/problem/LightOJ-1132

题目意思：(1^K + 2^K + 3^K + ... + N^K) % 2³²

矩阵快速幂的题目一般都很短，这道题也一样就是这么简单。

思路：运用到了组合数a^k=C(k,0)*a^k+C(k,1)*a^(k-1)+C(k,2)*a^(k-2)+C(k,3)*a^(k-3)+C(k,4)*a^(k-4)+……C(k,k)*a^(k-k)，运用这个式子我们可以构造以下矩阵。

C(k,0),   C(k,1),   C(k,2),   C(k,3)………… …… C(k,k) 　　  0    (n-1)^k            (n)^k
C(k-1,0), C(k-1,1), C(k-1,2), C(k-1,3)…………C(k-1,k-1) 　　0    (n-1)^(k-1)        (n)^(k-1) 
C(k-2,0), C(k-2,1), C(k-2,2), C(k-2,3)…………C(k-2,k-2) 　　0    (n-1)^(k-2)        (n)^(k-2) 
C(k-3,0), C(k-3,1), C(k-3,2), C(k-3,3)…………C(k-3,k-3) 　　0    (n-1)^(k-3)    =   (n)^(k-3)
……………………                                         　  *　　0
……………………                                 　　　　　　　　　 0
……………………                                         　　　　 0
C(3,0), C(3,1), C(3,2), C(3,3)                           0    (n-1)^(3)          (n)^(3)
C(2,0), C(2,1), C(2,2)                                   0    (n-1)^(2)          (n)^(2)
C(1,0), C(1,1)                                           0    (n-1)^(1)          (n)^(1)
C(k,0),   C(k,1),   C(k,2),   C(k,3)………… …… C(k,k)　　　　 1    s(n-1)             s[n]

还有一点这道题有一个奇怪的mod数2^32对于这个膜数我们采用unsigned int自然溢出就好了，如果直接mod就会超时，这一点在以后遇到这个mod数的时候需要注意。

代码：

//Author: xiaowuga
#include<bits/c++.h>
#define maxx INT_MAX
#define minn INT_MIN
#define inf 0x3f3f3f3f

using namespace std;
typedef unsigned int ll;
long long n,size;
struct Matrix{
    ll mat[55][55];
    void clear(){
        memset(mat,0,sizeof(mat));
    }
    Matrix operator * (const Matrix & m) const{
        Matrix tmp;
        int i ,j,k;
        tmp.clear();
        for( i=0;i<=size+1;i++)
            for( k=0;k<=size+1;k++){
                if(mat[i][k]==0) continue;
                for( j=0;j<=size+1;j++){
                    tmp.mat[i][j]+=mat[i][k]*m.mat[k][j];
                    //tmp.mat[i][j]%=MOD;
                }
            }
        return tmp;
    }
};
Matrix POW(Matrix m,long long k){
    Matrix ans;
    memset(ans.mat,0,sizeof(ans.mat));
    for(int i=0;i<=size+1;i++) ans.mat[i][i]=1;
    while(k){
        if(k&1) ans=ans*m;
        k=k>>1;
        m=m*m;
    }
    return ans;
}
int main() {
     ll tranangle[55][55]={0};
     tranangle[0][0]=1;
     for(int i=1;i<55;i++){
         tranangle[i][0]=1;
         for(int j=1;j<=i;j++)
             tranangle[i][j]=tranangle[i-1][j]+tranangle[i-1][j-1];
     }
     int T;
     scanf("%d",&T);
    for(int Case=1;Case<=T;Case++){
       scanf("%lld%lld",&n,&size);
        Matrix m;
        memset(m.mat,0,sizeof(m.mat));
        for(int i=0;i<=size;i++){
            for(int j=0;j<=size;j++)
                m.mat[i][j]=tranangle[i][j];
        }
        for(int i=0;i<=size;i++)
             m.mat[size+1][i]=tranangle[size][i];
        m.mat[size+1][size+1]=1;
        Matrix ans=POW(m,n-1);
        ll sum=0;
        for(int i=0;i<=size+1;i++){
            sum+=ans.mat[size+1][i];
        }
        printf("Case %d: %lld
",Case,sum);
    }
    return 0;
}