数据结构之红黑树

红黑树是平衡二叉查找树的一种。为了深入理解红黑树，我们需要从二叉查找树开始讲起。

BST

二叉查找树（Binary Search Tree，简称BST）是一棵二叉树，它的左子节点的值比父节点的值要小，右节点的值要比父节点的值大。它的高度决定了它的查找效率。

在理想的情况下，二叉查找树增删查改的时间复杂度为O(logN)（其中N为节点数），最坏的情况下为O(N)。当它的高度为logN+1时，我们就说二叉查找树是平衡的。

BST的查找操作

T  key = a search key
Node root = point to the root of a BST

while(true){
    if(root==null){
        break;
    }
    if(root.value.equals(key)){
        return root;
    }
    else if(key.compareTo(root.value)<0){
        root = root.left;
    }
    else{
        root = root.right;
    }
}
return null;

从程序中可以看出，当BST查找的时候，先与当前节点进行比较：

• 如果相等的话就返回当前节点；
• 如果少于当前节点则继续查找当前节点的左节点；
• 如果大于当前节点则继续查找当前节点的右节点。

直到当前节点指针为空或者查找到对应的节点，程序查找结束。

BST的插入操作

Node node = create a new node with specify value
Node root = point the root node of a BST
Node parent = null;

//find the parent node to append the new node
while(true){
   if(root==null)break;
   parent = root;
   if(node.value.compareTo(root.value)<=0){
      root = root.left;  
   }else{
      root = root.right;
   } 
}
if(parent!=null){
   if(node.value.compareTo(parent.value)<=0){//append to left
      parent.left = node;
   }else{//append to right
      parent.right = node;
   }
}

插入操作先通过循环查找到待插入的节点的父节点，和查找父节点的逻辑一样，都是比大小，小的往左，大的往右。找到父节点后，对比父节点，小的就插入到父节点的左节点，大就插入到父节点的右节点上。

BST的删除操作

删除操作的步骤如下：

1. 查找到要删除的节点。
2. 如果待删除的节点是叶子节点，则直接删除。
3. 如果待删除的节点不是叶子节点，则先找到待删除节点的中序遍历的后继节点，用该后继节点的值替换待删除的节点的值，然后删除后继节点。

BST存在的问题

BST存在的主要问题是，数在插入的时候会导致树倾斜，不同的插入顺序会导致树的高度不一样，而树的高度直接的影响了树的查找效率。理想的高度是logN，最坏的情况是所有的节点都在一条斜线上，这样的树的高度为N。

RBTree

基于BST存在的问题，一种新的树——平衡二叉查找树(Balanced BST)产生了。平衡树在插入和删除的时候，会通过旋转操作将高度保持在logN。其中两款具有代表性的平衡树分别为AVL树和红黑树。AVL树由于实现比较复杂，而且插入和删除性能差，在实际环境下的应用不如红黑树。

红黑树（Red-Black Tree，以下简称RBTree）的实际应用非常广泛，比如Linux内核中的完全公平调度器、高精度计时器、ext3文件系统等等，各种语言的函数库如Java的TreeMap和TreeSet，C++ STL的map、multimap、multiset等。

RBTree也是函数式语言中最常用的持久数据结构之一，在计算几何中也有重要作用。值得一提的是，Java 8中HashMap的实现也因为用RBTree取代链表，性能有所提升。

红黑树是每个节点都带有颜色属性的二叉查找树，颜色或红色或黑色。在二叉查找树强制一般要求以外，对于任何有效的红黑树我们增加了如下的额外要求:

性质1. 节点是红色或黑色。

性质2. 根节点是黑色。

性质3. 每个红色节点的两个子节点都是黑色。(从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点)

性质4. 从任一节点到其每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色节点。

 

这些约束强制了红黑树的关键性质: 从根到叶子的最长的可能路径不多于最短的可能路径的两倍长。结果是这个树大致上是平衡的。因为操作比如插入、删除和查找某个值的最坏情况时间都要求与树的高度成比例，这个在高度上的理论上限允许红黑树在最坏情况下都是高效的，而不同于普通的二叉查找树。

是性质3导致路径上不能有两个连续的红色节点确保了这个结果。最短的可能路径都是黑色节点，最长的可能路径有交替的红色和黑色节点。因为根据性质4所有最长的路径都有相同数目的黑色节点，这就表明了没有路径能多于任何其他路径的两倍长。

数据结构表示如下：

class  Node<T>{
   public  T value;
   public   Node<T> parent;
   public   boolean isRed;
   public   Node<T> left;
   public   Node<T> right;
}

RBTree在理论上还是一棵BST树，但是它在对BST的插入和删除操作时会维持树的平衡，即保证树的高度在[logN,logN+1]（理论上，极端的情况下可以出现RBTree的高度达到2*logN，但实际上很难遇到）。这样RBTree的查找时间复杂度始终保持在O(logN)从而接近于理想的BST。RBTree的删除和插入操作的时间复杂度也是O(logN)。RBTree的查找操作就是BST的查找操作。

RBTree的旋转操作

旋转操作(Rotate)的目的是使节点颜色符合定义，让RBTree的高度达到平衡。
Rotate分为left-rotate（左旋）和right-rotate（右旋），区分左旋和右旋的方法是：待旋转的节点从左边上升到父节点就是右旋，待旋转的节点从右边上升到父节点就是左旋。

RBTree的查找操作

RBTree的查找操作和BST的查找操作是一样的。请参考BST的查找操作代码。

public boolean contains(E element){
    return _contains(root, element);
}
//通过比较大小值来递归查询子节点。
private boolean _contains(Node node,E element){
    if(node == null) return false;
    
    if(element.compareTo(node.e) == 0){
        return true;
    }else if(element.compareTo(node.e) > 0){
        return _contains(node.right, element);
    }else{
        return _contains(node.left, element);
    }
    
    return false;
}

RBTree的插入操作

RBTree的插入与BST的插入方式是一致的，只不过是在插入过后，可能会导致树的不平衡，这时就需要对树进行旋转操作和颜色修复（在这里简称插入修复），使得它符合RBTree的定义。

新插入的节点是红色的，插入修复操作如果遇到父节点的颜色为黑则修复操作结束。也就是说，只有在父节点为红色节点的时候是需要插入修复操作的。

插入修复操作分为以下的三种情况，而且新插入的节点的父节点都是 红色的：

1. 叔叔节点也为红色。
2. 叔叔节点为空，且祖父节点、父节点和新节点处于一条斜线上。
3. 叔叔节点为空，且祖父节点、父节点和新节点不处于一条斜线上。

　　

插入操作-case 1

case 1的操作是将父节点和叔叔节点与祖父节点的颜色互换，这样就符合了RBTRee的定义。即维持了高度的平衡，修复后颜色也符合RBTree定义的第三条和第四条。下图中，操作完成后A节点变成了新的节点。如果A节点的父节点不是黑色的话，则继续做修复操作。

插入操作-case 2

case 2的操作是将B节点进行右旋操作，并且和父节点A互换颜色。通过该修复操作RBTRee的高度和颜色都符合红黑树的定义。如果B和C节点都是右节点的话，只要将操作变成左旋就可以了。

插入操作-case 3

case 3的操作是将C节点进行左旋，这样就从case 3转换成case 2了，然后针对case 2进行操作处理就行了。case 2操作做了一个右旋操作和颜色互换来达到目的。如果树的结构是下图的镜像结构，则只需要将对应的左旋变成右旋，右旋变成左旋即可。

插入操作的总结

参考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/24367771