• 数据结构>图的应用(拓扑排序,关键路径) 小强斋


    七、图的应用

    7.1、两种常用的活动网络( Activity  Network):

    ① AOV网(Activity  On Vertices)—用顶点表示活动的网络

    AOV网定义:若用有向图表示一个工程,在图中用顶点表示活动,用弧表示活动间的优先关系。Vi 必须先于活动Vj 进行。则这样的有向图叫做用顶点表示活动的网络,简称AOV。

    ② AOE网(Activity  On Edges)—用边表示活动的网络

    AOE网定义:如果在无环的带权有向图中,用有向边表示一个工程中的活动,用边上权值表示活动持续时间,用顶点表示事件,则这样的有向图叫做用边表示活动的网络,简称AOE。

    7.2、AOV网络的用途---拓扑排序

    我们经常用有向图来描述一个工程或系统的进行过程。一般来说,一个工程可以分为若干个子工程,只要完成了这些子工程,就可以导致整个工程的完成。

    AOV网络若用于教学计划的制定,可以解决:哪些课程是必须先修的,哪些课程是可以并行学习的。

    拓扑排序

    什么叫拓扑排序?

    按照有向图给出的次序关系,将图中顶点排成一个线性序列,对于有向图中没有限定次序关系的顶点,则可以人为加上任意的次序关系。由此所得顶点的线性序列称之为拓扑有序序列

    如何进行拓扑排序?

    一、从有向图中选取一个没有前驱的顶点(即入度为零的顶点),并输出之;

    二、从有向图中删去此顶点以及所有以它为尾的弧(即弧头顶点的入度减1;

    重复上述两步,直到

    全部顶点均已输出,拓扑有序序列形成,拓扑排序完成;

    或图中还有未输出的顶点,但已跳出处理循环。这说明图中还剩下一些顶点,它们都有直接前驱,再也找不到没有前驱的顶点了。这时AOV网络中必定存在有向环。

                                

    序号  1、2、3、4、5、6、7  前件的序号<后件的序号,合乎拓扑排序的要求

    使用邻接矩阵实现拓扑排序:

    算法的执行步骤:

    1、找到全为零的第j 列,输出j

    2、将第j 行的全部元素置为零

    3、找到全为零的第k列,输出k

    4、将第k行的全部元素置为零   …………………

    反复执行3、4;直至所有元素输出完毕。

    使用邻接表实现拓扑排序:

    算法的执行步骤:

    1、用一个数组记录每个结点的入度。将入度为零的结点进栈。

    2、将栈中入度为零的结点V输出。

    3、根据邻接表找到结点V的所有的邻接结点,并将这些邻接结点的入度减一。如果某一结点的入度变为零,则进栈。

    4、反复执行 2、3;直至栈空为止。        …………………

    次序执行结束,如果输出结点数等于图的结点总数,则有向图无环,否则有向图有环。

    CountInDegree(G,indegree);  //对各顶点求入度

    InitStack(S);

    for ( i=0; i<G.vexnum; ++i)

        if (!indegree[i])  Push(S, i); //入度为零的顶点入栈

    count=0;           //对输出顶点计数

    while (!EmptyStack(S)) {

        Pop(S, v);  ++count;   printf(v);

        for (w=FirstAdj(v); w;  w=NextAdj(G,v,w)){

            --indegree(w);  // 弧头顶点的入度减一

            if (!indegree[w])  Push(S, w); //新产生的入度为零的顶点入栈

        }

    }

    if (count<G.vexnum)printf(“图中有回路”)

     

    7.3AOE网络的用途:---确定关键路径

    常用于大型工程的计划管理。利用AOE网络可以解决以下两个问题:

     (1) 完成整个工程至少需要多少时间。(假设网络中没有环)?

     (2) 为缩短完成工程所需的时间, 应当加快哪些活动? 或者说,哪些活动是影响工程进度的关键?

    问题:假设以有向网表示一个施工流图,弧上的权值表示完成该项子工程所需时间。

    问:哪些子工程项是“关键工程”?

    即:哪些子工程项将影响整个工程的完成期限的。

     

    例设一个工程有11项活动,9个事件

    事件V1——表示整个工程开始

    事件V9——表示整个工程结束

    (1) 完成整项工程至少需要多少时间?

    (2) 哪些活动是影响工程进度的关键?

    关键路径

    • 在AOE网络中, 有些活动顺序进行,有些活动并行进行。
    • 从源点到各个顶点,以至从源点到汇点的有向路径可能不止一条。这些路径的长度也可能不同。完成不同路径的活动所需的时间虽然不同,但只有各条路径上所有活动都完成了,整个工程才算完成。
    • 完成整个工程所需的时间取决于从源点到汇点的最长路径长度,即在这条路径上所有活动的持续时间之和。这条路径长度最长的路径就叫做关键路径(Critical Path)。

    整个工程完成的时间为从有向图的源点到汇点的最长路径

    关键活动该弧上的权值增加 将使有向图上的最长路径的长度增加。关键活动的最早开始时间 =关键活动的最迟开始时间

    构造关键路径的方法:要用到拓扑排序和逆拓扑排序

    事件发生时间的计算公式:

         ve(源点) = 0;              ve(k) = Max{ve(j) + dut(<j,k>)}

         vl(汇点) = ve(汇点);       vl(j) = Min{vl(k) – dut(<j, k>)}

    开始vl=18

    假设第i条弧为 <j,k>,  则 对第i项活动言

      “活动(弧)”的最早开始时间 ee(i):  ee(i) = ve(j);

      “活动(弧)”的最迟开始时间 el(i): el(i) =vl(k)–dut(<j,k>);

    算法描述

    •    输入顶点和弧信息,建立其邻接表

    •    计算每个顶点的入度

    •    对其进行拓扑排序

         排序过程中求顶点的Ve[i]

         将得到的拓扑序列进栈

    •    按逆拓扑序列求顶点的Vl[i]

    •    计算每条弧的e[i]和l[i],找出e[i]=l[i]的关键活动

     

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