Scheme语言的“阴阳谜题”

Scheme语言的“阴阳谜题”

Scheme语言里有一个著名的“阴阳谜题（Yin-yang puzzle）”，大概是这么几行代码：

(let* ((yin ((lambda (foo) (newline) foo)
             (call/cc (lambda (bar) bar))))
       (yang ((lambda (foo) (write-char #/*) foo)
              (call/cc (lambda (bar) bar)))))
  (yin yang))

程序虽然短，但我第一次看见时，却说什么也猜不出它的运行结果。从表面上看，我大致知道call/cc会让程序陷入一个死循环，但实在不清楚循环内部到底是个什么逻辑。把程序拿到Scheme环境里一运行，吓了我一跳，结果居然是这么个样子：

*
**
***
****
*****
******
*******
...

然后，我掰着手指头想了整整一天，才隐约明白了这个“阴阳谜题”的来龙去脉。看到网上谈这个谜题的人很多，详细拆解这个谜题的人却很少，我干脆把我对这个问题的理解写出来吧，不一定正确，仅供大家参考。

首先要弄清楚的是，这个“阴阳谜题”程序到底是个什么结构。我们从里向外看：

(call/cc (lambda (bar) bar))

这一句把当前继续（Current continuation）传到匿名过程(lambda (bar) bar)中，而后者简单地返回传入的参数。也就是说，这一句的作用其实是获取当前继续。下面这样的组合

((lambda (foo) (newline) foo)
 (call/cc (lambda (bar) bar)))

意味着把当前继续作为参数，传到匿名过程(lambda (foo) (newline) foo)中，而后者先输出换行符，再简单地返回传入的参数。再进一步：

(yin ((lambda (foo) (newline) foo)
      (call/cc (lambda (bar) bar))))

它的作用是在输出换行符后，令局部变量yin绑定到call/cc得到的继续。对yang的绑定也类似。而下面这句

(yin yang)

就是在当前的yin和yang的绑定环境中，以yang为参数调用yin。因为在Scheme中，所谓的继续（Continuation）就是一个过程，既可以被调用，也可以扮演参数的角色。所以，(yin yang)这样的语法是没有任何问题的，关键是(yin yang)这样的调用会产生什么结果，这就不是一眼可以看出来的了（也许是我自己太愚钝，聪明人多半可以很快找到答案的）。

算了，既然一眼看不出来，就先把(yin yang)这样的怪代码放到一边。整理一下思路，整个“阴阳谜题”实际上做了这么几件事：

① 开始执行(let*)结构
② 获得当前继续
③ 输出换行符
④ 把②获取的继续赋予yin
⑤ 获得当前继续
⑥ 输出星号
⑦ 把⑤获取的继续赋予yang
⑧ 以yang为参数调用yin

看上去就是这样8个步骤，但为了参透其运行逻辑，必须确定两件事：

1、(let*)到底是个什么结构？

这个问题用不着我来回答，Scheme书籍和资料里讲得很多了。只讲一点最重要的：(let*)中有一个变量列表，如这里的yin和yang，(let*)会先把第一个变量的绑定创建好，然后在第一个变量的绑定已知的环境内，把第二个变量的绑定创建好，依此类推，直到所有绑定创建好以后，就在包含所有这些变量绑定的环境内求得主体表达式的值。在本例中，主体表达式就是简单的一句话：(yin yang)

2、步骤②和⑤中获取的到底是什么继续？

如果读者搞不清什么是继续，或不清楚如何使用继续的话，最好先去查书查资料。我只强调一下，call/cc得到的继续其实就是call/cc所在的当前表达式的“全部未来”。“全部未来”这个字眼儿是从Scheme的标准文档R5RS里抄来的，它的意思是说，平常没有call/cc时，我们在求得表达式的值后要做什么事情，现在直接调用call/cc的结果过程时就会做什么事情。

也就是说，如果②处不是一个call/cc而是一个普通表达式，那么我们在求得表达式的值后，会做这些事情：输出换行符，把该表达式的值赋予yin，创建一个包含yin的新环境，然后在新环境中完成后续的步骤——我把这件事记作(A)。

现在，代码在②处获得了当前继续。这意味着，一旦我们在今后调用这个继续，调用时就会重复同样的步骤，而这时使用的“表达式的值”，就是我们在调用继续时传入的那个参数。

类似的，如果调用⑤处得到的继续，就会做这些事情：输出星号，把该表达式的值赋予yang，创建一个包含yang的新环境，然后在新环境中完成后续的步骤——我把这件事记作(B)。

好了，弄清楚这两个问题后，我们可以试着手工运行一遍“阴阳谜题”了。在下面的解析中，我们把②处获得的继续称为Ca，把⑤处获得的继续称为Cb：

1、获得继续Ca，输出换行符，把Ca赋予yin，我把这些步骤简记作：

	/	yin = Ca(_)

其中，/ 表示输出换行符，Ca(_)表示②处获得的继续，而在将该继续赋予yin之前，yin的值未定义，所以括号内简记为 _

2、在包含yin的环境中，获得继续Cb，输出星号，把Cb赋予yang，记作：

	*	yang = Cb( Ca(_) )

其中，Cb( Ca(_) )表示⑤处获得的继续，在将该继续赋予yang之前，yin的值是Ca(_)

3、调用(yin yang)。从刚才的分析，我们可以知道，这个调用要做的事情是，把yang绑定的继续Cb( Ca(_) )作为参数，调用yin绑定的继续Ca(_)。套用刚才分析出来的那句话(A)，就是：输出换行符，把Cb( Ca(_) )的值赋予yin，创建一个包含yin的新环境，然后在新环境中完成后续的步骤。记作

	/	yin = Cb( Ca(_) )

4、现在要“完成后续的步骤”了。后续的步骤是⑤，所以接下来应该是：

	*	yang = Cb( Cb( Ca(_) ) )

5、又到了(yin yang)这一句了。现在yin和yang中绑定的过程和上一次不太一样了。最重要的是，yin中绑定的是Cb( Ca(_) )而不是Ca(...)，这表示对yin的调用将要做(B)描述的事情，而不是(A)描述的事情。我们如法炮制，现在这个(yin yang)的意思是：输出星号，把Cb( Cb( Ca(_) ) )赋予yang，创建一个包含yang的新环境，然后在新环境中完成后续的步骤。记作

	*	yang = Cb( Cb( Ca(_) ) )

有一个问题是，现在的yin该是一个什么东西呢？注意，调用前，yin的值是Cb( Ca(_) )，我发明的这种记法表明了创建这个继续时的环境，即，获得这个继续时，yin的值是Ca(_)。而我们现在调用yin，从某种意义上说，这相当于回到了创建这个继续时的环境里，我们可以简单地认为，调用后，yin的值又变回了Ca(_)。记作（这里给出的只是“近似”的说法，后面我们会讨论yin的值为什么会变回去）：

		yin = Ca(_)

6、这回马上就又碰到了下一轮的(yin yang)，因为yin的值是Ca(_)，所以我们会回到(A)描述的事情中，记作：

	/	yin = Cb( Cb( Ca(_) ) )

7、就像这样“运行”下去，再多写几步：

	*	yang = Cb( Cb( Cb( Ca(_) ) ) )
	*	yang = Cb( Cb( Cb( Ca(_) ) ) )
		yin = Cb( Ca(_) )
	*	yang = Cb( Cb( Cb( Ca(_) ) ) )
		yin = Ca(_)
	/	yin = Cb( Cb( Cb( Ca(_) ) ) )
	... ...

把我们上面7步得到的输出连起来：

/
*/
**/
***/
...

这不就是“阴阳谜题”的运行结果吗？好像事情还比较顺利，但我们还有一个问题没解决：当yin的值为Cb(...)时，在(yin yang)调用中，yin的值为什么会变回去？这个问题和Scheme使用的环境模型有关。建议大家回想一下《计算机程序的构造和解释（SICP）》一书第3章的内容。我仿照SICP的样子把“阴阳谜题”里的环境变化情况解释一下，在下面这两幅图中：

1、进入(let*)前，只有一个初始环境。把Ca绑定到yin，并创建包含yin的环境，这实际上相当于创建了一个包含yin的子环境，子环境中有个指针指向初始环境。就是左图中绿色的yin。其中，实线箭头表示引用父环境，虚线箭头表示变量绑定。

2、在刚创建的子环境中，把Cb绑定到yang，并创建包含yang的新的子环境，新子环境中有个指针指向包含yin的子环境。这就是左图中绿色的yang。

3、(yin yang)调用时，因为yin绑定的Ca过程的含义是重新创建包含yin的环境，所以，左图又多出了蓝色的yin，但这时yin的绑定指向绿色的Cb。接着创建蓝色的yang，它指向一个新的Cb。现在我们使用的是蓝色的yin和yang。

4、下一次(yin yang)调用，因为yin的绑定指向绿色的Cb，其含义是在绿色yin的环境下，重新创建包含yang的环境。于是，绿色yang被新创建的红色yang取代，而红色yang的绑定指向蓝色的Cb，红色yang的父环境还和绿色yang一致，是绿色的yin。这就是右图中的样子。现在，我们使用的是绿色的yin和红色的yang。也就是说，刚才还在使用指向Cb的yin，现在又恢复成使用绿色的yin了。这就是yin的值为什么会变回去的原因所在了。同时，因为红色yang这时指向了蓝色的Cb，下一次yin会变回到蓝色的yin，再下一次才会变回绿色的yin，因此，“阴阳谜题”每一行都会比上一行多输出一个星号。

这就是我推理出来的“阴阳谜题”的答案了（上面的讲解只是一种概念模型，与Scheme的具体实现并不完全等同）。不过，这个答案是手工推理出来的，能够被程序自动证明吗？应该是可以的，我把“阴阳谜题”扩展了一下，让程序可以自动跟踪每个继续的语义，并自动打印输出。修改后的代码如下：

(define cc-dict '())
(define (insert-cc! cc flag)
  (if (assq cc cc-dict)
      #f
      (set! cc-dict
            (cons
             (cons cc (cons flag (length cc-dict)))
             cc-dict))))
(define (display-cc cc prefix)
  (display prefix)
  (display #/()
  ((lambda (cc-pair)
     (cond (cc-pair
            (display (cadr cc-pair))
            (display #/,)
            (display (cddr cc-pair)))))
   (assq cc cc-dict))
  (display #/)))

(let ((count 5) (yang #f))
  (call/cc
   (lambda (exit)
     (let* ((yin ((lambda (foo)                    
                    (write-char #//)
                    (newline)
                    (insert-cc! foo #/a)
                    (display-cc foo "yin")
                    (display-cc yang "yang")
                    (set! count (- count 1))
                    (if (= 0 count) (exit 'end) foo))
                  (call/cc (lambda (bar) bar))))
            (yang ((lambda (foo)                     
                     (write-char #/*)
                     (insert-cc! foo #/b)
                     (display-cc yin "yin")
                     (display-cc foo "yang")
                     foo)
                   (call/cc (lambda (bar) bar)))))
       (yin yang)))))

上述代码显示了“阴阳谜题”前5行的运行过程，每次为yin、yang赋值前，代码都把yin、yang的内容打印出来，打印格式为 yin(a,0)yang(b,1) 或类似的格式，其中，yin(a,0) 表示 yin 的值为继续Ca，该继续是程序生成的第1个继续（基于0的索引）。上述代码的运行结果为：

/
yin(a,0)yang()*yin(a,0)yang(b,1)/
yin(b,1)yang()*yin(b,1)yang(b,2)*yin(a,0)yang(b,2)/
yin(b,2)yang()*yin(b,2)yang(b,3)*yin(b,1)yang(b,3)*yin(a,0)yang(b,3)/
yin(b,3)yang()*yin(b,3)yang(b,4)*yin(b,2)yang(b,4)*yin(b,1)yang(b,4)*yin(a,0)yang(b,4)/
yin(b,4)yang()

从这个运行结果里，我们可以清楚地看到yin、yang的变化情况，也可以看到在每一行中，yin是如何一步步地变回原来的值，并最终变回Ca以输出换行符的。