匈牙利算法

二分图最大匹配

邻接表：O(nm)

struct node{
    int s,t,nxt ; 
}e[1005] ;
int k,m,n,head[505],cnt,match[505],vis[505] ;
int find(int s)
{
    for(int i=head[s] ;i!=-1 ;i=e[i].nxt)
    {
        int tt=e[i].t ;
        if(!vis[tt])
        {
            vis[tt]=1 ;
            if(match[tt]==-1 || find(match[tt]))
            {
                match[tt]=s ;
                return 1 ;
            }
        }
    }
    return 0 ;
}
int max_match()
{
    int ans=0 ;
    memset(match,-1,sizeof(match)) ;
    for(int i=1 ;i<=m ;i++)
    {
        memset(vis,0,sizeof(vis)) ;
        ans+=find(i);
    }
    return ans;
}
void add(int s,int t) {e[cnt].s=s ;e[cnt].t=t ;e[cnt].nxt=head[s] ;head[s]=cnt++ ;}
void read_graph()
{
    memset(head,-1,sizeof(head)) ;
    cnt=0 ;
    for(int i=0 ;i<k ;i++)
    {
        int s,t ;
        scanf("%d%d",&s,&t) ;
        add(s,t) ;
    }
}

邻接矩阵：O(n^3) 可记录每个点匹配的情况，使用前M数组要清0

int T,M[105][105],n,m,linkx[105],linky[105],vis[105] ;
int find(int s)
{
    for(int i=1 ;i<=m ;i++)
    {
        if(M[s][i])
        {
            if(vis[i]==T)continue ;
            vis[i]=T ;
            if(!linky[i] || find(linky[i]))
            {
                linky[i]=s ;
                linkx[s]=i ;
                return 1 ;
            }
        }
    }
    return 0 ;
}
int max_match()
{
    int ans=0 ;
    memset(linkx,0,sizeof(linkx)) ;
    memset(linky,0,sizeof(linky)) ;
    memset(vis,0,sizeof(vis)) ;
    for(int i=1 ;i<=n ;i++)
    {
        T=i ;
        ans+=find(i);
    }
    return ans;
}

其他应用：

1、二分图的最小顶点覆盖数（在二分图中求最少的点，让每条边至少和其中一个点关联）==二分图的最大匹配数

证明见konig定理：http://baike.baidu.com/link?url=CEpX8XOz1PW7Z0bdkqIPRU1RlhYDrD26iYGN347jze8ak_ERxrWLR-jC6kPQH-1QVOuT0_0GqMyAKFURFnTRSq

2、DAG图的最小路径覆盖数（用尽量少的不相交简单路径覆盖有向无环图（DAG）G的所有顶点）==节点数-最大匹配数

按上面方式构图，证明不会

3、二分图最大独立集数==节点数-最大匹配数

构图如上，证明不会