算法-递归

递归是一个很经典的算法，最常见的就是斐波那契数列，斐波那契数列指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F0=0，F1=1，Fn=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*），最简单的解法就是通过递归:

-(NSInteger)simpleRecursive:(NSInteger)count{
    if (count==1) {
        return 0;
    }else if(count==2){
        return 1;
    }
    return [self simpleRecursive:count-1]+[self simpleRecursive:count-2];
}

通过斐波那契数列可以更清晰理解递归的概念:

必须有可达到的终止条件，否则程序陷入死循环

子问题在规模上比原问题小

子问题可通过再次递归调用求解

子问题的解应能组合成整个问题的解

同样的，我们可以通过递归求解整数的幂，比如说是求解m的n次方:

   一般求解m的n次方，一般使用n个m相乘的办法来求解。其实我们还可以使用另外一种更有效率的办法求解这个问题。我们知道一个数的0次方等于1，一个数的1次方等于该数本身。如果一个数的n次方的n可以被2整数，我们可以将求解的问题，分解为m的(n/2)次方乘以m的(n/2)次方。如果不能被2整除，则可以将问题求解转变为m乘以m的（n-1）次方，通过这个递归的办法，我们可以很快的分解求出问题。

-(NSInteger)power:(NSInteger)number  count:(NSInteger)count{
    if (count==0) {
        return 1;
    }
    if (count==1) {
        return number;
    }
    if (count%2==0) {
        return [self power:number*number count:count/2];
    }else{
        return [self power:number*number count:count/2]*number;
    }
}

循环数组一个数组中的值我们是最常遇到的，如果按顺序输出一个正整数每一位的值我们可以通过递归实现:

-(void)printOutNumber:(NSInteger)number{
    if (number>10) {
        [self printOutNumber:number/10];
    }
    NSLog(@"数值%ld",number%10);
}

另外一个经典的场景就是输入字符串abc，则打印出 a、b、c 所能排列出来的所有字符串 abc、acb、bac、bca、cab 和 cba ，暴力循环可以得到结果，不过如果这样写出来程序估计日后自己都不想看，这个问题其实是一个全排列的问题，核心的思想就是第一个数字起每个数分别与它后面的数字交换:

如果能生成n-1个元素的全排列，就能生成n个元素的全排列。对于只有一个元素的集合，可以直接生成全排列。所以全排列的递归终止条件很明确，只有一个元素时。我们可以分析一下全排列的过程：

　　(1)首先，我们固定第一个字符a，求后面两个字符bc的排列

　　(2)当两个字符bc排列求好之后，我们把第一个字符a和后面的b交换，得到bac，接着我们固定第一个字符b，求后面两个字符ac的排列

　　(3)将c放在第一个位置，但是记住前面我们已经把原先的第一个字符a和后面的b做了交换，为了保证这次c仍是和原先处在第一个位置的a交换，将c和第一个字符交换之前，先要把b和a交换回来。在交换b和a之后，再拿c和处于第一位置的a进行交换，得到cba，交换ba，得到cab。

图片来自网络，如果不清晰可以看下图片:

代码实现如下:

    //http://www.cnblogs.com/xiaofeixiang
-(void)allRange:(NSMutableArray *)arr  start:(NSInteger)index{
    if(index==arr.count-1)
    {
        NSString  *result=@"";
        for (NSInteger i=0; i<arr.count; i++) {
            result=[result stringByAppendingString:[arr objectAtIndex:i]];
        }
        NSLog(@"排列:%@",result);
    }
    else
    {
        for(NSInteger i=index;i<arr.count;i++)
        {	//从下标为index的数开始，分别与它后面的数字交换
            NSString *temp=arr[index];
            arr[index]=arr[i];
            arr[i]=temp;
            
            [self allRange:arr start:index+1];
    
            NSString *tempNext=arr[index];
            arr[index]=arr[i];
            arr[i]=tempNext;
        }
    }
}