机器学习降维之主成分分析

1. 主成分基本思想

主成分基本思想：在主成分分析中，首先对给定数据进行规范化，使得数据每一个变量的平均值维0，方差为1，之后对数据进行正交变换，原来由线性相关变量表示的数据，通过正交变换变成由若干个线性无关的新变量表示的数据。新变量是可能的正交变换中变量的方差的和最大的，方差表示了新变量上信息的大小，将新变量依次称为第一主成分，第二主成分等

通过主成分分析，可以利用主成分近似地表示原始数据，这可理解为发现数据的'基本结构'，也可以把数据由少数主成分表示，这可理解为数据降维

2. 总体主成分定义

(假设X = {(x_1,x_2,x_3,...,x_m)}^T是m维随机变量，其均值向量为mu),$$mu = E(X) = {(mu_1,mu_2,...,mu_m)}^T$$

(协方差矩阵是xi),$$xi = cov(x_i,x_j) = E[(x_i-mu){(x_j-mu)}^T]$$

(考虑由m维随机变量x到m维随机变量y = {(y_1,y_2,...,y_m)}^T的线性变换)

[y_i = a_i^TX = a_{1i}x_1+a_{2i}x_2+...+a_{mi}x_m ]

其中(a_i^T = (a_{1i},a_{2i},...,a_{mi}))

由随机变量的性质可以知道：

[E(y_i) = a_{i}^Tmu ]

[var(y_i) = a_i^Txi a_i ]

[cov(y_i,y_j) = a_i^Txi a_j ]

下面给出总体主成分的定义

定义(总体主成分):给定一个上面(y_i = a_i^TX = a_{1i}x_1+a_{2i}x_2+...+a_{mi}x_m)的线性变换，如果满足下列条件：

• (1)系数向量(a_i^T是单位向量，即a_i^T a_i = 1)
• (2)(变量y_i与y_j互不相关，即它们的协方差为0)
• (3)(变量y_1是X的所有线性变换中方差最大的;y_2是与y_1不相关的X的所有线性变换中方差最大的;) (一般地y_i是与y_1,y_2,...,y_{i-1}都不相关的X的所有线性变换中方差最大的;) (这时分别称y_1,y_2,...,y_m为X的第一主成分、第二主成分、...、第m主成分)

3. 样本均值和方差

假设对m维随机变量(X={(x_1,x_2,...,x_m)}^T)进行n次独立观测，(x_1,x_2,...,x_n)表示观测样本，其中(x_j={(x_{1j},x_{2j},...,x_{mj})}^T)表示第j个观测样本，(x_{ij}表示第j个观测样本的第i个变量)

给定样本矩阵X,可以估计样本均值，以及样本协方差，样本均值向量$$ ilde x = frac{1}{n}sum_{j=1}^nx_j$$

样本方差$$S = frac{1}{n-1}sum_{j=1}^n(x_{ik} - ilde x_i)(x_{jk}- ilde j)$$

3.1 样本方差推导

样本方差公式$$S = frac{1}{n-1}sum_{i=1}^n(x_i-mu_i)^2$$
扩展开来得到$$S = frac{1}{n-1}[(X-frac{1}{n}X^TI_nI_n^T)^T(X-frac{1}{n}X^TI_nI_n^T)]$$

[S = frac{1}{n-1}X^T(I_n - frac{1}{n}I_nI_n^T)(I_n - frac{1}{n}I_nI_n^T)X ]

令(H = I_n - frac{1}{n}I_nI_n^T)得$$S = frac{1}{n-1}X^THX$$
其中H为等幂矩阵HH=H和中心矩阵(H_n*I_n = 0)

4. PCA求解流程

• (1)数据归一化，均值为0,方差为1
• (2)计算协方差矩阵
• (3)计算协方差矩阵的特征值和特征向量
• (4)将特征值从大到小排序
• (5)保留最上面的N个特征向量
• (6)将数据转换到上述N个特征向量构建的新空间中

4.1 python实现PCA

def pca(dataMat, topNfeat=9999999):
    meanVals = mean(dataMat, axis=0)
    meanRemoved = dataMat - meanVals #remove mean
    covMat = cov(meanRemoved, rowvar=0)
    eigVals,eigVects = linalg.eig(mat(covMat))
    eigValInd = argsort(eigVals)            #sort, sort goes smallest to largest
    eigValInd = eigValInd[:-(topNfeat+1):-1]  #cut off unwanted dimensions
    redEigVects = eigVects[:,eigValInd]       #reorganize eig vects largest to smallest
    lowDDataMat = meanRemoved * redEigVects#transform data into new dimensions
    reconMat = (lowDDataMat * redEigVects.T) + meanVals
    return lowDDataMat, reconMat

5. PCA最小平方误差理论推导

PCA求解其实是寻找最佳投影方向，即多个方向的标准正交基构成一个超平面。

理论思想：在高维空间中，我们实际上是要找到一个d维超平面，使得数据点到这个超平面的距离平方和最小

假设(x_k)表示p维空间的k个点，(z_k)表示(x_k)在超平面D上的投影向量，(W = {w_1,w_2,...,w_d})为D维空间的标准正交基，即PCA最小平方误差理论转换为如下优化问题$$z_k = sum_{i=1}^d (w_i^T x_k)w_i---(1)$$

[argmin sum_{i=1}^k||x_k - z_k||_2^2 ]

[s.t. w_i^Tw_j = p(当i==j时p=1,否则p=0) ]

注：(w_i^Tx_k)为x_k在w_i基向量的投影长度，(w_i^Tx_kw_i)为w_i基向量的坐标值

求解：

(L = (x_k - z_k)^T(x_k-z_k))

(L= x_k^Tx_k - x_k^Tz_k - z_k^Tx_k + z_k^Tz_k)

由于向量内积性质(x_k^Tz_k = z_k^Tx_k)

(L = x_k^Tx_k - 2x_k^Tz_k + z_k^Tz_k)

将(1)带入得$$x_k^Tz_k = sum_{i=1}^dw_i^Tx_kx_k^Tw_i$$

[z_k^Tz_k = sum_{i=1}^dsum_{j=1}^d(w_i^Tx_kw_i)^T(w_j^Tx_kw_j) ]

根据约束条件s.t.得$$z_k^Tz_k = sum_{i=1}^dw_i^Tx_k^Tx_kw_i$$

[L =x_k^Tx_k - sum_{i=1}^dw_i^Tx_kx_k^Tw_i ]

根据奇异值分解$$sum_{i=1}^dw_i^Tx_kx_k^Tw_i = tr(W^Tx_k^Tx_kW)$$

[L =argminsum_{i=1}^kx_k^Tx_k - tr(W^Tx_k^Tx_kW) = argminsum_{i=1}^k- tr(W^Tx_k^Tx_kW) + C ]

等价于带约束得优化问题：$$argmaxtr(W^TXX^TW)$$

[s.t. W^TW = I ]

最佳超平面W与最大方差法求解的最佳投影方向一致，即协方差矩阵的最大特征值所对应的特征向量，差别仅是协方差矩阵(xi)的一个倍数

5.1 定理

[argminphi(W,Z|X) = tr((X-W^TZ)^T(X-W^TZ)) = ||X-W^TZ||_F^2 ]

[s.t.W^TW=I_q ]

注：X为(n,p),Z为(n,q),q < p,w为(p,q)

该定理表达的意思也就是平方差理论，将降维后的矩阵通过W^T投影回去，再与X计算最小平方差，值越小说明信息损失越少

(phi)目标函数最小时，W为X的前q个特征向量矩阵且(Z=W^TX)

以上优化可以通过拉格朗日对偶问题求得，最终也会得到$$argmaxtr(W^TXX^TW)$$

[s.t. W^TW = I ]

6. 核PCA推导

核函数:设X是输入空间((R^n)的子集或离散子集),又F为特征空间(希尔伯特空间)，如果存在一个从X到F的隐射$$phi (X):X -> F$$使得对所有x,zin X,函数K(x,z)满足条件$$K(x,z) = phi (x)ullet phi (z)$$

下面推导F投影到的主成分定义的平面，根据F样本方差的特征值分解得(为推导方便去掉前面的((frac{1}{n-1}))$$F^THFV_i = lambda _i V_i$$由于H为等逆矩阵，则$$F^THHFV_i = lambda _i V_i$$

由于想得到F很难，我们换一种思路将求F转移求K上，根据AA^T与A^TA的关系：非零特质值相同，得到$$HFF^THU_i = lambda _iU_i $$

两边同时乘以(F^TH)得到$$F^THHFF^THU_i = lambda _iF^THU_i$$

从上式可以得到(F^THU_i)为(F^THHF)的特征向量

将(F^THU_i)进行归一化$$U_{normal} = frac{F^THU_i}{{||U_i^THFF^THU_i||}_2}$$

由于(HFF^TH = HKH = lambda _i),则$$U_{normal} = lambda ^{-frac{1}{2}}F^THU_i$$

F投影到(U_normal)定义的平面$$P = F_{center} U_{normal}$$

[P= (F-frac{1}{n}sum_{i=1}^nF_i)(lambda ^{-frac{1}{2}}F^THU_i) ]

[P= (F-frac{1}{n}F^TI_n)(lambda ^{-frac{1}{2}}F^THU_i) ]

[P= lambda ^{-frac{1}{2}}(K - frac{1}{n}K(x,x_i))HU_i ]

附：奇异值分解

奇异值分解是一个能适用于任意矩阵的一种分解方法：$$A = Uxi{V}^T$$

假设A是一个MN的矩阵，那么U就是MM的方阵（里面的向量是正交的，U里面向量为左奇异向量），(xi)为MN的实数对角矩阵（对角线以外的元素都是0，对角线上的元素为奇异值），
(V^T)是一个NN的矩阵（里面的向量是正交的，V里面的向量称为右奇异向量）

再结合特征值分解：$$(A^Tullet{A})ullet{V_i} = lambda{_i}ullet{V_i}$$

上面得到的(V_i)就是奇异值分解种的右奇异向量，(lambda{_i})为特征值

此外我们还可以得到：$$sigma{_i} = sqrt{lambda{_i}}u_i=frac{1}{sigma{_i}}AV_i$$

上面的(sigma{_i}为奇异值)，(u_i)为左奇异向量

常见的做法是将奇异值由大到小排列，在大多数情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部奇异值和的99%以上，也就是说我们可以用前r大的奇异值来近似描述矩阵

[A_{m imes{n}}approx{U_{m imes{r}}xi{_{r imes{r}}}V_{r imes{n}}^T} ]

r是一个远小于m,n的数

参考资料:

• (1)李航老师的<统计学习方法>
• (2)<机器学习实战基于Scikit-Learn和TensorFlow>
• (3)<百面机器学习>