[BZOJ3772]精神污染
试题描述
兵库县位于日本列岛的中央位置，北临日本海，南面濑户内海直通太平洋，中央部位是森林和山地，与拥有关西机场的大阪府比邻而居，是关西地区面积最大的县，是集经济和文化于一体的一大地区，是日本西部门户，海陆空交通设施发达。濑户内海沿岸气候温暖，多晴天，有日本少见的贸易良港神户港所在的神户市和曾是豪族城邑“城下町”的姬路市等大城市，还有以疗养地而闻名的六甲山地等。
兵库县官方也大力发展旅游，为了方便，他们在县内的N个旅游景点上建立了n-1条观光道，构成了一棵图论中的树。同时他们推出了M条观光线路，每条线路由两个节点x和y指定，经过的旅游景点就是树上x到y的唯一路径上的点。保证一条路径只出现一次。
你和你的朋友打算前往兵库县旅游，但旅行社还没有告知你们最终选择的观光线路是哪一条（假设是线路A）。这时候你得到了一个消息：在兵库北有一群丧心病狂的香菜蜜，他们已经选定了一条观光线路（假设是线路B），对这条路线上的所有景点都释放了【精神污染】。这个计划还有可能影响其他的线路，比如有四个景点1-2-3-4，而【精神污染】的路径是1-4，那么1-3,2-4,1-2等路径也被视为被完全污染了。
现在你想知道的是，假设随便选择两条不同的路径A和B，存在一条路径使得如果这条路径被污染，另一条路径也被污染的概率。换句话说，一条路径被另一条路径包含的概率。
输入
第一行两个整数N,M
接下来N-1行，每行两个数a,b，表示A和B之间有一条观光道。
接下来M行，每行两个数x,y，表示一条旅游线路。
输出
所求的概率，以最简分数形式输出。
输入示例
5 3 1 2 2 3 3 4 2 5 3 5 2 5 1 4
输出示例
1/3
数据规模及约定
100%的数据满足：N,M<=100000
题解
先膜拜一下 popoqqq 的题解。
然后我再试图自己讲讲。。。
一个很重要东西：一棵树上，一条链 A 被另一条链 B 包含当且仅当 A 的两个端点都在 B 上。
那么对于一条链，要知道它是否被包含，只需要关心它的两个端点就行了。
对于一条链 (a, b)，我们不妨把 b 称为 a 的对面儿。查询一条链 C 包含了哪些链的方法就是把所有在链 C 上的节点拎出来，分别统计它们的对面儿在不在链 C 上，而这个在链 C 上的“对面儿”们的个数就是 C 包含的链的条数。
所以我们不妨建立一个树形的主席树，每个节点 u 在其父节点的基础之上把 u 的“对面儿”们的信息加进来。
这个信息，具体指什么信息呢？我们发现我们需要回答有几个点在一条链上，所以可以对整棵树搞一个括号序列，那么这个信息，存节点在括号序列对应的位置就好了，注意一个节点在括号序列中对应两个位置，左括号的位置 +1，右括号的位置 -1。
注意括号序列只能处理自己到祖先这样的链，所以对于一条 (a, b) 的链，在询问它包含几条链时把它拆成 (a, lca(a, b)) 和 (b, lca(a, b)) 这两条链就好了，小心 lca(a, b) 这个点有可能被重复统计，写代码时细心一点。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <stack>
#include <vector>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <string>
#include <map>
#include <set>
using namespace std;
const int BufferSize = 1 << 16;
char buffer[BufferSize], *Head, *Tail;
inline char Getchar() {
if(Head == Tail) {
int l = fread(buffer, 1, BufferSize, stdin);
Tail = (Head = buffer) + l;
}
return *Head++;
}
int read() {
int x = 0, f = 1; char c = Getchar();
while(!isdigit(c)){ if(c == '-') f = -1; c = Getchar(); }
while(isdigit(c)){ x = x * 10 + c - '0'; c = Getchar(); }
return x * f;
}
#define maxn 100010
#define maxm 200010
#define maxnode 4000010
#define maxlog 17
#define LL long long
int ToT, sumv[maxnode], lc[maxnode], rc[maxnode];
void update(int& y, int x, int l, int r, int p, int v) {
sumv[y = ++ToT] = sumv[x] + v;
if(l == r) return ;
int mid = l + r >> 1; lc[y] = lc[x]; rc[y] = rc[x];
if(p <= mid) update(lc[y], lc[x], l, mid, p, v);
else update(rc[y], rc[x], mid + 1, r, p, v);
return ;
}
int query(int o, int l, int r, int ql, int qr) {
if(!o) return 0;
if(ql <= l && r <= qr) return sumv[o];
int mid = l + r >> 1, ans = 0;
if(ql <= mid) ans += query(lc[o], l, mid, ql, qr);
if(qr > mid) ans += query(rc[o], mid + 1, r, ql, qr);
return ans;
}
int n, m, head[maxn], next[maxm], to[maxm];
void AddEdge(int a, int b) {
to[++m] = b; next[m] = head[a]; head[a] = m;
swap(a, b);
to[++m] = b; next[m] = head[a]; head[a] = m;
return ;
}
struct Path {
int a, b;
Path() {}
Path(int _, int __): a(_), b(__) {}
} ps[maxn];
int pm, phead[maxn], pnxt[maxn], pto[maxn];
void AddPath(int a, int b) {
ps[++pm] = Path(a, b);
pto[pm] = b; pnxt[pm] = phead[a]; phead[a] = pm;
return ;
}
int fa[maxlog][maxn], dep[maxn], rt[maxn], dl[maxn], dr[maxn], clo;
void build(int u) {
dl[u] = ++clo;
for(int i = 1; i < maxlog; i++) fa[i][u] = fa[i-1][fa[i-1][u]];
for(int e = head[u]; e; e = next[e]) if(to[e] != fa[0][u]) {
dep[to[e]] = dep[u] + 1;
fa[0][to[e]] = u;
build(to[e]);
}
dr[u] = ++clo;
return ;
}
int lca(int a, int b) {
if(dep[a] < dep[b]) swap(a, b);
for(int i = maxlog - 1; i >= 0; i--) if(dep[a] - dep[b] >= (1 << i)) a = fa[i][a];
for(int i = maxlog - 1; i >= 0; i--) if(fa[i][a] != fa[i][b]) a = fa[i][a], b = fa[i][b];
return a == b ? a : fa[0][b];
}
void build2(int u) {
rt[u] = rt[fa[0][u]];
for(int e = phead[u]; e; e = pnxt[e]) {
update(rt[u], rt[u], 1, clo, dl[pto[e]], 1),
update(rt[u], rt[u], 1, clo, dr[pto[e]], -1);
// if(ToT % 10000 == 0) printf("ToT: %d
", ToT);
}
for(int e = head[u]; e; e = next[e]) if(to[e] != fa[0][u]) build2(to[e]);
return ;
}
LL gcd(LL a, LL b) { return b ? gcd(b, a % b) : a; }
int main() {
// freopen("data.in", "r", stdin);
n = read(); int tm = read();
for(int i = 1; i < n; i++) {
int a = read(), b = read();
AddEdge(a, b);
}
while(tm--) {
int a = read(), b = read();
AddPath(a, b);
}
build(1); build2(1);
LL ans = 0;
for(int i = 1; i <= pm; i++) {
int a = ps[i].a, b = ps[i].b, c = lca(a, b);
// printf("lca(%d, %d) = %d
", a, b, c);
ans += (LL)query(rt[a], 1, clo, dl[c], dl[a]) - query(rt[fa[0][c]], 1, clo, dl[c], dl[a]);
ans += (LL)query(rt[a], 1, clo, dl[c] + 1, dl[b]) - query(rt[fa[0][c]], 1, clo, dl[c] + 1, dl[b]);
ans += (LL)query(rt[b], 1, clo, dl[c], dl[a]) - query(rt[c], 1, clo, dl[c], dl[a]);
ans += (LL)query(rt[b], 1, clo, dl[c] + 1, dl[b]) - query(rt[c], 1, clo, dl[c] + 1, dl[b]);
ans--;
}
LL bns = (LL)pm * (pm - 1) >> 1, g = gcd(ans, bns);
ans /= g; bns /= g;
printf("%lld/%lld
", ans, bns);
return 0;
}