hihoCoder #1196 高斯消元·二

题意：如上图的一块板子，其中部分格子已经亮起，每当按下一个格子，其上下左右及自己共5个格子的亮暗状态会改变（亮变暗，暗变亮）。给定一块板子的初始状态，问要使得每个格子都亮起来，需要按多少次，以及按哪些格子？

思路：

　　（1）对于任意一个格子，如果这个格子改变了偶数次状态，则等价于没有发生改变。我们可以将1看作格子亮着，0看作格子暗着，每改变1次就加1，最后格子的状态等于其总数值 MOD 2。则其运算结果刚好满足异或运算，即每改变一次等于状态值 xor 1。

　　（2）对于一个格子x和它周围的4个格子来说，若格子x被按下偶数次，它自身和周围4个格子的状态也等于没有发生改变。所以我们可以知道：任意一个格子至多被按下一次。

　　（3）假设有数组x[1..30]，分别表示这30个格子是否按下1次，若按下则x[i]=1，否则x[i]=0。则对于1个格子，他最后的状态为：

　　　　　　当前状态 = 初始状态 xor (a[1] * x[1]) xor (a[2] * x[2]) xor ... xor (a[30] * x[30])；

　　　　a[i]表示第i个格子是否受这个格子的影响，按一次最多只能影响5个，若在边界上可能还更少。

　　　　因为我们的目标是要让所有等格子都为亮的状态，故我们需要让 当前状态 = 1，再将式子变换一下：

　　　　　　(a[1] * x[1]) xor (a[2] * x[2]) xor ... xor (a[30] * x[30]) = 1 xor 初始状态；

　　　　那么右边的就完全知道了，而左边只是知道a数组，要求的就是x数组了。上面仅仅是由一个格子所列出的式子，所以一共得列出30条式子才行，再进行高斯消元。大概是如下的：

　　　　　　(a[ 1][1] * x[1]) xor (a[ 1][2] * x[2]) xor ... xor (a[ 1][30] * x[30])   = y[1];

　　　　　　(a[ 2][1] * x[1]) xor (a[ 2][2] * x[2]) xor ... xor (a[ 2][30] * x[30])   = y[2];

　　　　　　.......此处省略27条式子.....................

　　　　　　(a[30][1] * x[1]) xor (a[30][2] * x[2]) xor ... xor (a[30][30] * x[30]) = y[30]；

　　（4）消元方法：方法和普通消元方法差不多，唯一变的是，若要消去a[j][i]，不再用加减法，而是用xor。将第i行与第j行分别左边与左边，右边与右边相异或，作为第j行的结果。

　　　　(a[j][1] * x[1]) xor (a[j][2] * x[2]) xor ... xor (a[j][30] * x[30]) xor (a[i][1] * x[1]) xor (a[i][2] * x[2]) xor ... xor (a[ i][30] * x[30]) = y[j] xor y[i]

　   => ((a[j][1] * x[1]) xor (a[i][1] * x[1])) xor (((a[j][2] * x[2]) xor (a[i][2] * x[2]))) xor ... xor ((a[j][30] * x[30]) xor (a[i][30] * x[30])) = y[j] xor y[i]

      => ((a[j][1] xor a[i][1]) * x[1]) xor ((a[j][2] xor a[i][2]) * x[2]) xor ... ((a[j][30] xor a[i][30]) * x[30]) = y[j] xor y[i]

　　

　　　　总的来说，就是((a[j][1] * x[1]) xor (a[i][1] * x[1]))可以变成 ((a[j][1] xor a[i][1]) * x[1]) 。注意，如果a[j][i]本来就为0，这一步完全可省。消完之后从后面开始逐步进行代入就可以求出所有的x[i]了。

　　

#include <bits/stdc++.h>
#define max(X,Y) ((X) > (Y) ? (X) : (Y))
#define min(X,Y) ((X) < (Y) ? (X) : (Y))
#define pii pair<int,int>
#define INF 0x7f7f7f7f
#define LL long long
using namespace std;
const int N=30;
const int M=50;
int x[M];
int r[M];
int y[M];
int a[M][M];


void GE()
{
    memset(a, 0, sizeof(a));
    memset(y, 0, sizeof(y));
    memset(x, 0, sizeof(x));

    for(int i=1; i<=N; i++) //初始化
        y[i]=1^r[i];        //等式右边

    for(int i=1; i<=N; i++) //第i个格子的四周4个
    {
        a[i][i]=a[i][i+6]=1;
        if(i-6>0)   a[i][i-6]=1;
        if(i%6!=0)  a[i][i+1]=1;
        if(i%6!=1)  a[i][i-1]=1;
    }

    for(int i=1; i<=N; i++)
    {
        for(int j=N; j>=i; j--)   //找到某行第i列非0的，换到第i行。
        {
            if(a[j][i])
            {
                swap(a[i], a[j]);
                swap(y[i], y[j]);
                break;
            }
        }

        //消去其他行的第i列
        for(int j=i+1; j<=N; j++)
        {
            if(a[j][i]) //为1的才要消
            {
                a[j][i]=0;
                for(int k=i+1; k<=N; k++)    a[j][k]^=a[i][k];
                y[j]^=y[i];
            }
        }
    }

    //回代
    for(int i=N; i>=1; i--) //对于第i行，只需要算出第i列的x。
    {
        for(int j=N; j>i; j--)    y[i]^=x[j]*a[i][j];   //反向回代
        x[i]=y[i];  //a[i][i]已经保证为1了。
    }

}

int main()
{
    freopen("input.txt", "r", stdin);
    char c;
    for(int i=1; i<=N; i++)
    {
        c=getchar();
        if(c=='0' || c=='1')  r[i]=c-'0';
        else  i--;
    }

    GE();

    int cnt=0;
    for(int i=1; i<=N; i++) if(x[i])    cnt++;
    printf("%d
", cnt);
    for(int i=1; i<=N; i++) if(x[i])    printf("%d %d
", (i-1)/6+1, (i-1)%6+1);

    return 0;
}