题意:
有n个蚂蚁n棵树,蚂蚁与树要配对,在配对成功的一对之间连一条线段,要求所有线段不能相交。按顺序输出蚂蚁所匹配的树。
思路:
这个题目真是技巧啊,不能用贪心来为每个蚂蚁选择最近的树,这样很可能是相交了的。
整体最优能让每条线段不相交,证明:
假设a1-b1与a2-b2相交。则dis(a1,b1)+dis(a2,b2)>=dis(a1,b2)+dis(a2,b1)。如果我们所决定的最优匹配是按照整体距离最短来匹配的,那么dis(a1,b1)+dis(a2,b2)必定小于dis(a1,b2)+dis(a2,b1),否则,与最优矛盾。推广到整个图就是匹配图中任意两个点都是最优的,否则我们一定可以用更优的方式来替代他们。而整体最优靠的是KM算法。注意到,本题是完全二分图。
Tips:要选的是整体权值最小,只需要将边权置为距离相反数再跑KM算法即可。
1 #include <bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 const int N=110; 4 int antx[N], anty[N], treex[N], treey[N]; 5 double g[N][N]; //距离 6 7 inline double dis(int a,int b) 8 { 9 return sqrt((treex[a]-antx[b])*(treex[a]-antx[b])+(treey[a]-anty[b])*(treey[a]-anty[b])); 10 } 11 12 int n; 13 double Lx[N], Ly[N], slack[N]; 14 int girl[N]; 15 int S[N], T[N]; 16 17 bool DFS(int x) 18 { 19 S[x]=true; 20 for(int i=1; i<=n; i++) 21 { 22 if(T[i]) continue; 23 double tmp=Lx[x]+Ly[i]-g[x][i]; 24 if(tmp<1e-6) 25 { 26 T[i]=true; 27 if(girl[i]==0 || DFS(girl[i])) 28 { 29 girl[i]=x; 30 return true; 31 } 32 } 33 else if(slack[i]>tmp) 34 slack[i]=tmp; 35 } 36 return false; 37 } 38 39 void KM(int n) 40 { 41 for(int i=1; i<=n; i++) //初始化工作 42 { 43 girl[i]=0; 44 Lx[i]=-1e19; 45 Ly[i]=0.0; 46 for(int j=1; j<=n; j++) 47 Lx[i]=max(Lx[i], g[i][j]); 48 } 49 for(int i=1; i<=n; i++) //对于每个树 50 { 51 for(int j=1; j<=n; j++) slack[j]=1e19; 52 while(1) 53 { 54 memset(S, 0, sizeof(S)); 55 memset(T, 0, sizeof(T)); 56 if( DFS(i) ) break; //找到匹配的蚂蚁 57 58 59 double d=1e19; 60 for(int j=1; j<=n; j++) //找最小D 61 { 62 if(!T[j] && d>slack[j]) 63 d=slack[j]; 64 } 65 66 for(int j=1; j<=n; j++) //更新树 67 { 68 if(S[j]) 69 Lx[j]-=d; 70 } 71 72 for(int j=1; j<=n; j++) //更新蚂蚁 73 { 74 if(T[j]) Ly[j]+=d; 75 else slack[j]-=d; 76 } 77 } 78 } 79 } 80 81 int main() 82 { 83 freopen("input.txt", "r", stdin); 84 int k=0; 85 while(~scanf("%d",&n)) 86 { 87 if(k) printf(" "); 88 k++; 89 for(int i=1; i<=n; i++) 90 scanf("%d%d", &antx[i], &anty[i]); //ant 91 for(int i=1; i<=n; i++) 92 scanf("%d%d", &treex[i], &treey[i]); //apple tree 93 94 95 for(int i=1; i<=n; i++) 96 for(int j=1; j<=n; j++) 97 g[i][j]=-dis(i,j); 98 99 KM(n); 100 for(int i=1; i<=n; i++) 101 printf("%d ", girl[i]); //ans为girl 102 } 103 return 0; 104 }