一本通网站 1440：【例题1】数的划分 及 剪枝小结

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【题目描述】

将整数n分成k份，且每份不能为空，任意两份不能相同(不考虑顺序)。

例如：n=7，k=3，下面三种分法被认为是相同的。

1，1，5； 1，5，1； 5，1，1；

问有多少种不同的分法。 输出一个整数，即不同的分法。

【输入】

两个整数n，k(6<n≤200，2≤k≤6)，中间用单个空格隔开。

【输出】

一个整数，即不同的分法。

【输入样例】

7 3

【输出样例】

4

【提示】

四种分法为：1，1，5；1，2，4；1，3，3；2，2，3。

本题就是求把数字n无序划分成k份的方案数。也就是求方程X1+X2+……Xk=n，1<=X1<=X2<=……Xk的解数。

搜索的方法是依次枚举X1,X2,……Xk的值，然后判断，如果这样一直直接搜索，程序的运行速度是非常慢的。但由于本题的数据规模比较小，如果控制好扩展结点的上界和下界，也是能够很快得出解的。

约束条件：

1.由于分解数不考虑顺序，因此我们设定分解数依次递增，所以扩展点时的下界应该是不小于前一个扩展点的值，即a[i-1]<=a[i]；

2.假设我们将n已经分解成了a[1]+a[2]+……+a[i-1]，则a[i]的最大值为i~k这k-i+1分平均划分，即设m=n-（a[1]+a[2]+……+a[i-1]），则a[i]<=m/（k-i+1），所以扩展点的上界是m/（k-i+1）；

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int read()
{
    char ch=getchar();
    int a=0,x=1;
    while(ch<'0'||ch>'9')
    {
        if(ch=='-') x=-x;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9')
    {
        a=(a<<3)+(a<<1)+(ch-'0');
        ch=getchar();
    }
    return a*x;
}
int n,m,a[9],s=0;
void dfs(int x)
{
    if(n==0) return ;       //若将n分解完，则直接返回 
    if(x==m)                //若此时分解数的个数到了m 
    {
        if(n>=a[x-1]) s++;
        return ;
    }
    for(int i=a[x-1];i<=n/(m-x+1);i++)  //从下界枚举到上界 
    {
        a[x]=i;
        n-=i;
        dfs(x+1);
        n+=i;      //回溯 
    }
 } 
 int main()
 {
     n=read();
     m=read();
     a[0]=1;        //从1开始分解 
     dfs(1);
     cout<<s<<endl;
     return 0;
 }

对神搜的剪枝技巧进行小结：

所谓剪枝就是通过某种判断，避免一些不必要的遍历过程，形象地说，就是减去搜索树中的某些枝条，故城剪枝。

剪枝的原则：

1.正确性；

2.准确性；

3.高效性；

深度优先搜索的优化技巧：

1.优化搜索顺序；

2.排除等效冗杂；

3.可行性剪枝；

4.最优性剪枝；

5.记忆化；