T2695 桶哥的问题——吃桶 题解

校内测试 ------T3

思路分析：

这个题要你求所有套餐的总价值，先看一眼产生套餐的条件：

让我们对 $x + y = z - 2y$ 这个式子进行化简：

$x + y = z - 2y$   $=>$  $ x + 3y = z$   $=>$  $ z - x=3y$

产生的价值为：

$(x+z)*(b_x-b_z)$

我们可以注意到 $y$ 对产生的价值的贡献为 $0$（就是说跟 $y$ 没什么关系），所以上面的式子其实我们知不知道 $y$ 也就无所谓了，知道了也没什么用，还不如不知道$qwq$。

化简之后，我们可以重新来定义一下产生套餐的条件了：

$x<z$ 且 $(z-x)%3=0$ 且 $a_x=a_z$

所以暴力的同学就不用开三重循环啦，两重就够了。

之前的悲惨代码，跑得超慢，差不多$7s$：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int read()
{
    char ch=getchar();
    int a=0,x=1;
    while(ch<'0'||ch>'9')
    {
        if(ch=='-') x=-x;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9')
    {
        a=(a<<3)+(a<<1)+(ch-'0');
        ch=getchar();
    }
    return a*x;
}
int n,m,ans;
const int mod=10007;
int a[100001],b[100001];
int main()
{
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) b[i]=read()%mod;
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
    for(int x=1;x<=n;x++)
    {
        for(int z=x;z<=n;z+=3)
        {
            if(z==x) continue;
            if(a[z]==a[x])
            ans+=(x+z)*(b[x]-b[z])%mod;
        }
    }
    cout<<(ans+mod)%mod;
    return 0;
}

然后，$rqy$ 神仙讲了一个 $Θ(n)$ 的算法，直接从 $7223ms$ 降到了 $90ms$！

讲下 $rqy$ 的思路：

跟上面不同的是，我们套餐的价格不再是按照上面的公式求了，而是把它展开：

$(x+z)*(b_x-b_z)=xb_x-xb_z+zb_x-zb_z$

 我们从 $1～n$ 枚举每一个 $z$，那么对于 $z$ 前面的所有下标相差 $3$ 的整数倍且与 $z$ 同种的 $x$ 都可以与 $z$ 产生一个套餐，那么 $ans$ 都要加一下上面的那个公式；

我们先假设我们枚举到的这个 $z$ 它的前面有 $3$ 个符合条件的 $x$，分别记为 $x_1,x_2,x_3$。

$x_1$ 与 $z$ 产生的套餐的价值为：$(x_1+z)*(b_{x_1}-b_z)=x_1b_{x_1}-x_1b_z+zb_{x_1}-zb_z$

$x_2$ 与 $z$ 产生的套餐的价值为：$(x_2+z)*(b_{x_2}-b_z)=x_2b_{x_2}-x_2b_z+zb_{x_2}-zb_z$

$x_3$ 与 $z$ 产生的套餐的价值为：$(x_3+z)*(b_{x_3}-b_z)=x_3b_{x_3}-x_3b_z+zb_{x_3}-zb_z$

那么对于当前这个 $z$，它能产生的价值就是：$(x_1b_{x_1}-x_1b_z+zb_{x_1}-zb_z)+(x_2b_{x_2}-x_2b_z+zb_{x_2}-zb_z)+(x_3b_{x_3}-x_3b_z+zb_{x_3}-zb_z)$；

我们将它进行合并同类项，得到：$(x_1b_{x_1}+x_2b{x_2}+x_3b_{x_3})-b_z(x_1+x_2+x_3)+z（b_{x_1}+b_{x_2}+b_{x_3})-zb_z*3$；

我们可以将这个式子进行推广，假设 $z$ 前面有 $n$ 的符合条件的 $x$，那么当前这个 $z$ 能产生的总价值就是：

$(x_1b_{x_1}+x_2b_{x_2}+x_3b_{x_3}+……+x_nb_{x_n})-b_z(x_1+x_2+x_3+……x_n)+z(b_{x_1}+b_{x_2}+b_{x_3}+……+b_{x_n})-zb_z*n$

$=sum_{i=1}^{j}x_i*b_{x_i}-b_z*(sum_{i=1}^{j}x_i)+z*(sum_{i=1}^{j}b_{x_i})-zb_z*sum_{i=1}^{j}1$

这个公式就是这个 $Θ(n)$ 算法的核心！

所以对于当前 $z$，我们只要求出它前面的 $sum_{i=1}^{j}x_i*b_{x_i}$，$sum_{i=1}^{j}x_i$，$sum_{i=1}^{j}b_{x_i}$，$sum_{i=1}^{j}1$，那么 $z$ 产生的总价值我们就可以 $Θ(1)$ 算出，再加上我们枚举的范围是$1～n$，所以这个算法的复杂度为 $Θ(n)$！

但是，怎么求那上面的那几个 $sum_{i=1}^{j}$ 呢？

问得好！我们开数组来分别存上面的几个 $sum_{i=1}^{j}$的值，注意这几个数组的下标都是种类：

$sx[i]$ 表示前面x下标的总和 $sum_{i=1}^{j}x_i$

$sbx[i]$ 表示前面 $x$ 的美味值的总和 $sum_{i=1}^{j}b_{x_i}$

$sxbx[i]$ 表示前面 $x$ 的下标乘美味值的总和 $sum_{i=1}^{j}x_i*b_{x_i}$

$s[i]$ 表示前面 $x$ 的个数 $sum_{i=1}^{j}1$

首先我们要解决 $x$ 和 $z$ 下标差 $3$ 的倍数的问题，这个好弄，将 $mod$ $3=0$ 的存为一类，$mod$ $3=1$ 的存为一类，$mod$ $3=2$ 的存为一类，那么对于每一类它们的下标相差一定是 $3$ 的倍数；

然后我们要解决 $x$ 和 $z$ 要属于同一种的问题，这就要用到了我们之前把数组的下标定位种类的原理了：

我们将每一种类的桶的 $sum_{i=1}^{j}$ 都存在了数组里面，所以我们只要找和 $z$ 种类相同的就行了，$ans$ 更新如下：

            ans=(ans+sxbx[a[z]])%mod;                   
            ans=(ans-z%mod*b[z]%mod*s[a[z]]%mod)%mod;  //这里多mod几遍，可能会爆int 
            ans=(ans+z*sbx[a[z]]%mod)%mod;
            ans=(ans-b[z]*sx[a[z]]%mod)%mod;

更新完 $ans$ 之后，对于以后的 $z$，当前的 $z$ 也有可能成为 $x$，所以我们要让 $z$ 更新一下和 $z$ 属于同一种的 $sum_{i=1}^{j}$：

            sxbx[a[z]]=(sxbx[a[z]]+z*b[z]%mod)%mod;
            s[a[z]]=(s[a[z]]+1)%mod;
            sbx[a[z]]=(sbx[a[z]]+b[z])%mod;
            sx[a[z]]=(sx[a[z]]+z)%mod;

到这里，就做完了，完整代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cstring>
using namespace std;
int a[100005],b[100005],sxbx[100005],sx[100005],sbx[100005],s[100005];
int read()
{
    char ch=getchar();
    int a=0,x=1;
    while(ch<'0'||ch>'9')
    {
        if(ch=='-') x=-x;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9')
    {
        a=(a<<3)+(a<<1)+(ch-'0');
        ch=getchar();
    }
    return a*x;
}
int n,m;
long long ans;
const int mod=10007;
int main()
{
    n=read();
    m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) b[i]=read()%mod;             //种类a，美味值b 
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
    ans=0;
    for(int c=1;c<=3;c++)                              //一共三类：mod(3)=1 / 2 / 3 
    {
        memset(sxbx,0,sizeof(sxbx));                   //千万不要忘了清零，防止对其他类的影响 
        memset(s,0,sizeof(s));
        memset(sbx,0,sizeof(sbx));
        memset(sx,0,sizeof(sx));
        for(int z=c;z<=n;z+=3)                         //解决下标差3的倍数的问题 
        {
            ans=(ans+sxbx[a[z]])%mod;                  //更新ans值，注意要和z同种 
            ans=(ans-z%mod*b[z]%mod*s[a[z]]%mod)%mod;  //这里多mod几遍，可能会爆int 
            ans=(ans+z*sbx[a[z]]%mod)%mod;
            ans=(ans-b[z]*sx[a[z]]%mod)%mod;
            sxbx[a[z]]=(sxbx[a[z]]+z*b[z]%mod)%mod;    //加上z的贡献，注意要和z同种 
            s[a[z]]=(s[a[z]]+1)%mod;
            sbx[a[z]]=(sbx[a[z]]+b[z])%mod;
            sx[a[z]]=(sx[a[z]]+z)%mod;
        }
    }
    cout<<(ans+mod)%mod;                               //防止答案为负数 
    return 0;
}