今天是钟皓曦老师的讲授~~
总结了一下今天的内容:
数论!!!
1.整除性
2.质数
定义:
性质:
3.整数分解定理——算数基本定理
证明:
存在性:
设N是最小不满足唯一分解定理的整数
(1) 若N为质数,则N=N¹,所以N不存在;
(2) 若N为合数,则N=P*(N/P),因为N/P也是不满足定理的整数
所以与N是不满足定理的最小整除相矛盾
所以N不存在
唯一性:
4.素数的判定
(注:s.t.是“使得”的意思)
根据钟神长者的小学经验:取2,3,5,7,13,29,37,89这8个素数在int范围内是100%准的
时间复杂度为O(klogn)
怎么代码实现呢???
首先我们要先求出d和r,然后快速幂求出a^d和a^(d*2^i)
a^(d*2^i)当然有别的好方法求啦,看下面:
a^(d*2^(i-1)*2)=(a^(d*2^(i-1)))^2=((a^(d*2^(i-2)))^2)^2……最后搞下去就变成了a^(d*2^i)
所以我们只要把快速幂后的a^(d*2^i)再进行快速幂就行啦
程序代码:
int gg[8] = {2,3,5,7,13,29,37,89}; //8个好用的素数
bool miller_rabin(int a,int n)
{
int d=n-1,r=0;
while (d%2==0)
d/=2,r++; //求d和r
int x = kuaisumi(a,d,n); //快速幂a^d
if (x==1) return true; //判断a^d%n是否为1,若是,则可能是质数;若否,进行下一层判断
for (int i=0;i<r;i++)
{
if (x==n-1) return true;
x=(long long)x*x%n; //将a^d进行快速幂来判断a^(d*2^i)%n是否为-1也就是n-1;
}
return false;
}
bool is_prime(int n)
{
if (n<=1) return false;
for (int a=0;a<8;a++)
if (n==gg[a]) return true; //判断n是否为列举的素数中的任何一个,若是则直接判为素数
for (int a=0;a<8;a++)
if (!miller_rabin(gg[a],n)) return false; //进行miller_rabin素数检查
return true;
}
int kuaisumi(int a,int d,int n) { //快速幂函数
int ans=1;
while(b)
{
if(b&1) ans=ans*a%n;
a=a*a%n;
b>>=1;
}
5.裴蜀定理
设d=gcd(a,b);
6.扩展欧几里得
程序代码:
第10行和第4行都是返回的最大公约数,而x,y的值都地址返回了
7.中国剩余定理
另外我们还可以用大数翻倍法做
8.逆元
定义:
我们都知道欧拉定理:
怎么证呢???
(1)
那么都<n且都与n互质
所以对于mod n是不同余的
那么同乘a也是不同余的
那么这其中的任何
这样我们得到了
既然这其中的任何,那么
这样我们得到了
每一个乘a后mod n的余数不变,那么我们可以说
这样我们就得到了
由此我们就可以得到:
9.Miller_Rabin 二次侦探定理
说明一下: x²≡1 (mod p)
x²-1≡0 (mod p)
(x+1)(x-1)≡0 (mod p)
x≡1或-1
a^(d*2^r)-1≡0 (mod p)
(a^(d*2^(r-1))-1)(a^(d*2^(r-1))+1)≡0 (mod p)
a^(d*2^(r-1))≡1或a^(d*2^(r-1))≡-1
若a^(d*2^(r-1))≡-1,则满足Miller_Rabin的第二个式子,直接判定n为质数
否则a^(d*2^(r-1))≡1
a^(d*2^(r-1))-1≡0 (mod p)
(a^(d*2^(r-2))+1)(a^(d*2^(r-2))-1)≡0 (mod p)
a^(d*2^(r-2))≡1或a^(d*2^(r-2))≡-1
若a^(d*2^(r-2))≡-1,则满足Miller_Rabin的第二个式子,直接判定n为质数
否则a^(d*2^(r-2))≡1
……
10.线性求逆元
程序代码:
int inv[i]=1;
for(int i=2;i<=10;i++)
{
inv[i]=(p-(p/i))*inv[p%i]%p;
}
11.BSGS算法
先来引入积性函数和完全积性函数的概念:
以下是几个常见的积性函数:
可能大家对莫比乌斯函数μ(n)不大熟悉,我来给大家介绍一下:
我们来了解一下莫比乌斯函数的性质
答案很简单:当n=1时,答案为1;当n不为1时,答案为0;
莫比乌斯反演
F(n)和f(n)为算术函数,若他们满足
则有