杜教筛瞎扯

原来这东西这么简单的么……qwq

---

杜教筛用来快速筛出一系列数论函数的前缀和，并且不要求积性。
我们设要筛的函数为 (S(n)=sum_{i=1}^{n}f(i))，如果能找到一个函数 (g)，考虑如下的过程：

[sum_{i=1}^n(f*g)(i)=sum_{i=1}^nsum_{dmid i}f(d)gleft(frac{i}{d} ight)=sum_{d=1}^ng(d)sum_{k=1}^{leftlfloorfrac{n}{d} ight floor}f(k)=sum_{d=1}^ng(d)Sleft(leftlfloorfrac{n}{d} ight floor ight) ]

我们将右边和式的第一项 (g(1)S(n)) 提出来放到左边，得到

[g(1)S(n)=sum_{i=1}^n(f*g)(i)-sum_{i=2}^ng(i)Sleft(leftlfloorfrac{n}{i} ight floor ight) ]

可以看到我们已经得到了一个关于 (S(n)) 的递归计算式。如果我们能快速求出 (f*g,g) 的前缀和（通常都是 (O(1))，不过只要计算这俩的复杂度不超过单次杜教筛的复杂度也可以，杜教筛套杜教筛），就可以数论分块来递归计算 (S) 了。
下面来计算一下复杂度，略去递归的话单次计算显然是 (O(sqrt n)) 的，也就是说如果 (f*g,g) 的复杂度不超过 (O(sqrt n)) 是不影响杜教筛总复杂度的。复杂度的总计算式就是

[Oleft(sum_{i=1}^{sqrt n}sqrt i+sum_{i=1}^{sqrt n}sqrt{leftlfloorfrac{n}{i} ight floor} ight)=Oleft(sum_{i=1}^{sqrt n}sqrt{leftlfloorfrac{n}{i} ight floor} ight)=Oleft(int_{1}^{sqrt n}sqrt{frac{n}{x}}{ m d}x ight)=Oleft(n^{frac{3}{4}} ight) ]

但是这样还不够快。注意到我们递归计算的 (n) 是一个这样的数列：

[1,2,dots,sqrt n,leftlfloorfrac n1 ight floor,leftlfloorfrac n2 ight floor,dots,leftlfloorfrac n{sqrt n} ight floor ]

如果对于较小的 (n) 我们仍 (O(sqrt n)) 计算显然是非常不明智的。如果能我们预处理出 (S(1sim n^c)) 的值（其中 (c>frac{1}{2})），那么复杂度将变成

[Oleft(n^c+sum_{i=1}^{n^{1-c}}sqrt{leftlfloorfrac ni ight floor} ight)=Oleft(n^c+int_1^{n^{1-c}}sqrt{frac nx}{ m d}x ight)=Oleft(n^c+n^{1-frac12 c} ight) ]

当 (c=frac23) 时达到最小，为 (O(n^{frac23}))。
对于记忆化数组，由于每次递归的参数都是 (leftlfloorfrac nx ight floor) 的形式，且对于 (x>n^{frac13}) 已经预处理过了，所以我们只需开一个 (n^{frac13}) 大小的数组表示 (x) 即可。

---

讲完啦！看道模板吧：Luogu4213【模板】杜教筛（Sum）。
题目很简单了，由于 (varphi*1=operatorname{id},mu*1=epsilon)，于是 (g,f*g) 就构造出来了。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned int uint;
typedef pair<ll,int> pli;

const int N=pow(INT_MAX,0.666)+1;
const int M=pow(INT_MAX,0.333)+1;
int n,pri[N+5];
ll phi[N+5],mu[N+5];
bool v[N+5],vis[M+5];
pli res[M+5];

pli DuSieve(int x)
{
	if(x<=N) return make_pair(phi[x],mu[x]);
	int nx=n/x;
	if(!vis[nx])
	{
		vis[nx]=1;
		ll v1=x*(1LL*x+1)/2; int v2=1;
		for(uint l=2,r;l<=x;l=r+1)
		{
			r=x/(x/l); pli t=DuSieve(x/l);
			v1-=(r-l+1)*t.first,v2-=(r-l+1)*t.second;
		}
		res[nx]=make_pair(v1,v2);
	}
	return res[nx];
}

int main()
{
	mu[1]=phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=N;++i)
	{
		if(!v[i]) pri[++pri[0]]=i,mu[i]=-1,phi[i]=i-1;
		for(int j=1;j<=pri[0]&&i*pri[j]<=N;++j)
		{
			v[i*pri[j]]=1;
			if(i%pri[j]==0) {phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j]; break;}
			mu[i*pri[j]]=-mu[i],phi[i*pri[j]]=(pri[j]-1)*phi[i];
		}
		phi[i]+=phi[i-1],mu[i]+=mu[i-1];
	}
	int Case; scanf("%d",&Case);
	while(Case--)
	{
		scanf("%d",&n); 
		memset(vis,0,sizeof(vis));
		pli ans=DuSieve(n);
		printf("%lld %d
",ans.first,ans.second);
	}
	return 0;
}

以后会随缘更几道例题吧（咕咕咕