• CH1809 匹配统计 题解


    看了好久才懂,我好菜啊……


    题意:给两个字符串 (a)(b),对于 (q) 次询问,每次询问给出一个 (x),求存在多少个位置使得 (a) 从该位置开始的后缀子串与 (b) 匹配的长度恰好为 (x)

    这题可以 Hash+二分 (O(nlog n)) 过,还有一个高端做法是扩展 KMP(然而并不会
    正解的话,还是 KMP。但此题对 KMP 的理解还是要求很高啊。
    (b) 求一遍 (nxt),再求 (a)(f)。那么根据定义,(f_i=j) 表示 (a_{i-j+1sim i}=b_{1sim j}),换句话说,(a)(i-j+1) 开始的后缀与 (b) 的匹配长度至少为 (j)
    由于我们只是求出了至少,但题目问的是精确值,那么做一个转换,开一个桶 (cnt)(cnt_i) 表示匹配长度至少为 (i) 的位置有几个,那么对于每一个询问,答案就是 (cnt_x-cnt_{x+1})
    求完 (f) 后,我们把它扔进桶里。
    还没完,考虑一下到现在为止 (cnt) 里存了什么,我们发现现在的 (cnt_i) 存的位置个数并没有覆盖所有的情况,也就是说我们要做一个后缀和来覆盖这些情况。
    如何做后缀和?根据 KMP 的性质,如果 (a[i-j+1sim i]=b[1sim j]),那么 (a[i-j+1sim i-j+nxt[j]]=b[1sim nxt[j]]) 同样成立,并且中间的都不成立,也就是说,(nxt[j]) 是次选项。进一步地,(nxt[nxt[j]],nxt[nxt[nxt[j]]],...)都是满足条件的选项,这样我们的答案就得到了扩展并覆盖了所有情况。
    所以我们倒序枚举 (m),后缀和的递推式就是cnt[nxt[i]]+=cnt[i]
    本题真心很难理解(好像字符串题就没有好理解的),一定要多画图,把抽象描述形象化。

    #include <cstdio>
    #include <cstring>
    using namespace std;
    const int N=2e5+5;
    int n,m,q,nxt[N],f[N],cnt[N];
    char a[N],b[N];
    int main()
    {
        scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
        scanf("%s %s",a+1,b+1);
        for(int i=2,j=0;i<=m;++i)
        {
            while(j>0&&b[i]!=b[j+1]) j=nxt[j];
            if(b[i]==b[j+1]) ++j;
            nxt[i]=j;
        }
        for(int i=1,j=0;i<=n;++i)
        {
            while(j>0&&a[i]!=b[j+1]) j=nxt[j];
            if(a[i]==b[j+1]) ++j;
            f[i]=j;
        }
        for(int i=1;i<=n;++i) ++cnt[f[i]];
        for(int i=m;i;--i) cnt[nxt[i]]+=cnt[i];
        while(q--)
        {
            int x; scanf("%d",&x);
            printf("%d
    ",cnt[x]-cnt[x+1]);
        }
        return 0;
    }
    
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