数位dp专题

这个题的数据特别大，很容易想到数位dp，但是判断条件是啥不清楚
打表发现这个函数f(n)就是二进制下的翻转每个位
要想f(n)=n,n必须为回文数

很明显的数位dp 发现正向推判断的时候会超时 再看见至少这两个字 引导你去往容斥的方向去想

至少重复出现一次的反面就是均不重复出现 这样我们dfs的时候用个2048的数来状压记录一下就好了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define lowbit(x) x&(-x)
#define ll long long
const int maxn=40;
const int maxx=2050;
int n,cnt;
void calc(int);
int a[maxn];
ll dp[maxn][maxx][2][2]; 
ll dfs(int pos,int mp,int limit,int lead){
	if(pos==cnt+1)return 1;
	if(dp[pos][mp][limit][lead]!=-1)return dp[pos][mp][limit][lead];
	ll ans=0;
	int up=limit?a[pos]:9;
	for(int i=0;i<=up;i++){
		if(lead&&i==0)ans+=dfs(pos+1,0,limit&&i==a[pos],1);
		else if(!((mp>>(i+1))&1))
		ans+=dfs(pos+1,mp|(1<<(i+1)),limit&&i==a[pos],0);
	}
	return dp[pos][mp][limit][lead]=ans;
}
int main(){
	cin>>n;
	calc(n);
     return 0;
}
void calc(int x){
	while(x){
		a[++cnt]=x%10;
		x/=10;
	}
	reverse(a+1,a+1+cnt);
	memset(dp,-1,sizeof(dp));
	cout<<n-dfs(1,0,1,1)+1;
}

这个题和上面一题类似 可以状压 但是唯一不同的就是这个题要求和

怎么办？ 维护两个dp数组 dp1表示方案数 dp2表示答案

对于每一个位置pos 枚举到的i 对答案产生的贡献为 dp2+=dp1 乘 10的pos次方乘i

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 3e6 + 10;
const int mod = 998244353;
typedef pair<ll, ll> pii;
ll dp[10005][2048];
ll dp2[10005][2048];
int a[10005], st;
ll base[10005];
pii dfs(int pos, int state, bool limit, bool lead) {
    if (pos == -1) {
        if ((state & st) == st) return {1,0};
        else return {0,0};
    }
    if (!limit && !lead && dp[pos][state] != -1) return {dp[pos][state], dp2[pos][state]};
    int End = limit ? a[pos] : 9;
    ll ans1 = 0, ans2 = 0;
    for (int i = 0; i <= End; i++) {
        if (lead&&i==0) {
                pii tmp = dfs(pos-1, state, limit && i == End, 1);
                ans1 = (ans1 + tmp.first) % mod;
                ans2 = (ans2 + i * base[pos] % mod * tmp.first % mod + tmp.second) % mod;
            }
            else {
                pii tmp = dfs(pos-1, state | (1<<i), limit && i == End, 0);
                ans1 = (ans1 + tmp.first) % mod;
                ans2 = (ans2 + i * base[pos] % mod * tmp.first % mod + tmp.second) % mod;
            }
    }
    if (!limit && !lead) dp[pos][state] = ans1, dp2[pos][state] = ans2;
    return {ans1, ans2};
}
int main() {
    base[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= 10000; i++) base[i] = base[i-1] * 10 % mod;
    string s; cin >> s;
    int len = s.size();
    int m; cin >> m;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int x; cin >> x;
        st |= 1 << x;
    }

    for (int i = 0; i < s.size(); i++) a[i] = s[len-1-i]-'0';
    memset(dp, -1, sizeof dp);
    memset(dp2, -1, sizeof dp2);
    cout << dfs(len-1, 0, true, true).second << endl;
}