引言
在生活中五子棋也是一种先手有必赢策略的游戏，有人会说五子棋先手我也会输啊，所以
博弈论问题都有个类似如“参与者足够聪明”，“两人都不犯错"的前提。
在此前提下，讨论几种常见的博弈情形
一：巴什博弈
问题描述：n个物品，两个人轮流取[1,m]个，最后取光者胜利，判断先手胜还是后手胜？
分析
考虑到 若n=m+1 那么 第一个人不论如何取都不能取胜。
进一步我们发现 若 n=k*(m+1)+r; 先取者拿走 r 个，那么后者再拿[1,m]个
n=（k-1）*（m+1）+s； 先取者再拿走s 个 最后总能造成 剩下n=m+1 的局面。
因此，此时先手有必赢策略。
相对应的，若n=k*(m+1) 那么先取者必输。
二：尼姆博弈(Nimm Game)
问题描述：n堆物品，第i堆有ai个，两个人轮流选择一堆，并从中选取走[1,ai]个，最后取光者胜利，判断先手胜利还是后手胜利？
分析：
先说点别的：
N必胜状态，P必败状态
N一定是从P转移过来的，P一定不能从N转移过来（但可能p的后继状态里有N，只是不会转移过去）
为什么呢？
比如说，你现在处于优势，你不可能把你再陷入劣势
你现在处于劣势，你肯定要想尽方法把你带进优势
Nim游戏有个定理
先手必胜，当且仅当a1xora2xora3xor.....xoran!=0
为什么呢？为了方便把前面这一坨xor设为Y
如果Y=0，则一定不存在一个k，使得Yxork==0
如果Y!=0，则一定存在一个K，使得Yxork==0
同理N和P，证毕
三.SG函数
先定义一个
Mex运算：****最小不属于这个集合的最小整数
例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0
对于一个给定的有向无环图，定义关于图的每个顶点的SG函数g如下：
g(x)=mex{ g(y) | y是x的后继 （y可能会有多个）}。（这个公式很重要，反复看）
SG函数性质：
显然没有出边的顶点，其g值为0（因为它的后继集合是空集）
然后对于一个g(x)==0的顶点x，它的所有后继y都满足g(y)!=0（Mex运算）
再就对于一个g(x)!=0 的顶点，必定存在一个后继y满足g(y)=0。（出度不为0的一定有儿子）
注意一定要把这三句话弄懂
以巴什博弈为例，n=6，m=3时，Si表示还剩i个物品的状态，S0是终止状态
显然SG(S0)=0;
因为S1的唯一后继状态是S0根据Mex运算，SG(S1)=1
因为S2的后继状态有S0，S1根据Mex运算，SG(S2)=2
因为S3的后继状态有S0,S1,S2根据Mex运算,SG(S3)=3
因为S4的后继状态只有S1,S2,S3根据Mex运算，SG(S4)=0
例题；
N个结点的有向无环图，图中某些节点上有棋子，两名玩家交替移动棋子。玩家每一步可将任意一颗棋子沿一条有向边移动到另一个点，无法移动者输掉，问先手必胜还是后手必胜
分析：
建图完毕后，将每一个出度为0的SG函数设为0，相应的可以dfs每一个点的SG函数
最后整个游戏的SG函数值就是每一个棋子的SG函数值异或起来。当SG==0时，先手必败