题目地址：https://leetcode-cn.com/problems/unique-paths/
题目描述
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。问总共有多少条不同的路径？
提示：
1 <= m, n <= 100- 题目数据保证答案小于等于
2 * 10 ^ 9
题目示例
示例 1:
输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右
示例 2:
输入: m = 7, n = 3
输出: 28
解题思路
分析题目可知，到达终点Finish，可以看作是终点的前一列或者前一行的格子，递归式具体可表示为arr[m][n]=arr[m-1][n]+arr[m][n-1]。知道有些同学看不明白，分享一个图，如下
思路1：递归。对题目给的问题采用自顶向下的思想，拆分为若干子问题求解，但存在子问题的重复求解问题，时间复杂度O(2^mn)；
思路2：记忆化搜索。该方法是对递归的方法进行优化，使用数组存储已经求解过的路径避免重复，时间复杂度O(nn)，空间复杂度O(mn)；
思路3：动态规划。将原问题拆分为若干子问题，然后对每个子问题进行求解，并将结果进行保存，从而避免了子问题的重复求解，时间复杂度O(mn)，空间复杂度O(mn)。在这里，我们使用二维数组dp来存储最终结果，其中dp[i][j]表示从起点(0,0)走到(i,j)的路径数。根据题目可知，机器人只能向下或者向右，所以dp[i][j]的值就等于第i行第j列这个格子上面的那个格子的路径数加上左边那个格子的路径数，即状态转移方程为dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]，因为这两个格子都可以走到第i行第j列的这个格子。
思路4：对思路3进行优化，主要是优化空间复杂度，因为在思路3中dp数组存储了所有格子的路径信息，我们可以使用一维数组dp来存储最终结果，即当前行格子的信息，其中dp[j]=dp[j]+dp[j-1]为递归表达式。通俗讲，也就是将每一行当作一个动态规划处理，第一行初始化为全1，即路径数为dp[0]=1，然后dp[1]为第二行路径数，即j=1时的路径数，而dp[1]等于上一行数加上当前行元素的值，即dp[1]=dp[0]+dp[1]=2，j=2时，dp[2]=上一行元素的值dp[2]+dp[2-1]=1+2=3，以此类推，可得dp[j]=dp[j]+dp[j-1]。
相似题目还有63、980。
程序源码
思路1
class Solution { public: int uniquePaths(int m, int n) { if(m <= 0 || n <= 0) return 0; if(m == 1 && n == 1) return 1; return uniquePaths(m - 1, n) + uniquePaths(m, n - 1); } };
思路2
class Solution { public: int arr[101][101] = {0}; int uniquePaths(int m, int n) { if(m <= 0 || n <= 0) return 0; if(m == 1 && n == 1) return 1; if(arr[m][n] > 0) return arr[m][n]; arr[m - 1][n] = uniquePaths(m - 1, n); arr[m][n - 1] = uniquePaths(m, n - 1); arr[m][n] = uniquePaths(m - 1, n) + uniquePaths(m, n - 1); return arr[m][n]; } };
思路3
class Solution { public: int uniquePaths(int m, int n) { vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0)); for(int i = 0; i < m; i++) { dp[i][0] = 1; //初始化第一列路径 } for(int j = 0; j < n; j++) { dp[0][j] = 1; //初始化第一行路径 } for(int i = 1; i < m; i++) { for(int j = 1; j < n; j++) { dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]; //状态转移方程 } } return dp[m - 1][n - 1]; //到达Finish格子的路径数目 } };
空间复杂度优化
class Solution { public: int uniquePaths(int m, int n) { vector<int> dp(n, 1); for(int i = 1; i < m; i++) { for(int j = 1; j < n; j++) { dp[j] += dp[j - 1]; //状态转移方程 } } return dp[n - 1]; //到达Finish格子的路径数目 } };