面试题10- II：青蛙跳台阶问题（C++）

题目地址：https://leetcode-cn.com/problems/qing-wa-tiao-tai-jie-wen-ti-lcof/

题目描述

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1

题目示例

示例 1：

输入：n = 2
输出：2

示例 2：

输入：n = 7
输出：21

提示：

• 0 <= n <= 100

解题思路

青蛙跳台阶问题，可以把n级台阶看成是n的函数，记为f(n)，假设跳上n级台阶，有f(n)种跳法，则当n=0或者n=1时，返回1。

青蛙的最后一步只有两种情况： 跳上1级或2级台阶

• 当为1级台阶： 剩n-1个台阶，此情况共有f(n-1)种跳法；
• 当为2级台阶： 剩n-2个台阶，此情况共有f(n-2)种跳法。

因此n级台阶的不同跳法数目就成为f(n)=f(n-1)+f(n-2)

斐波那契数列问题：f(0)=0 f(1)=1 f(2)=1
青蛙跳台阶问题：f(0)=1 f(1)=1 f(2)=2

本题可转化为 求斐波那契数列第n项的值 ，斐波那契数列的定义是 f(n+1)=f(n)+f(n-1)，生成第n项的做法有以下两种：

• 递归法：把f(n)问题的计算拆分成f(n-1)和f(n-2)两个子问题的计算，并递归，以f(0)和f(1)为终止条件，即n=0或者n=1时，返回1
• 动态规划：以斐波那契数列性质f(n+1)=f(n)+f(n-1)为转移方程，初始化前两个数字f(0)=1和f(1)=1，然后利用斐波那数列返回f(n)，即斐波那契数列的第n个数字

程序源码

递归(本题使用递归方法，当n=43时将导致超时问题，参考解决方法如下)

class Solution {
public:
    int numWays(int n) {
        if(n == 0 || n == 1) return 1;
        return numWays(n-1) + numWays(n-2);
    }
};

递归超时解决办法：

class Solution {
public:
    int arr[200] = {0};
    int fun(int n)
    {
        if(n == 0 || n == 1) return 1;
        if(n == 2) return 2;
        if(arr[n] != 0) return arr[n];
        arr[n] = fun(n - 1) + fun(n - 2);
        arr[n] %= 1000000007;
        return arr[n];
    }
    int numWays(int n) {
        int tmp;
        tmp = fun(n);
        return tmp;
    }
};

动态规划

//数组解决
class Solution {
public:
    int numWays(int n) {
       int arr[200];
        arr[0] = 1;
        arr[1] = 1;
        arr[2] = 2;
        for(int i = 3; i <= n; i++)
        {
            arr[i] = arr[i - 1] + arr[i -2];
            arr[i] %= 1000000007;
        }
        return arr[n];

    }

};

class Solution {
public:
    int numWays(int n) {
        vector<int> arr(n+1,1);
        for(int i = 2; i <= n; i++)
        {
            arr[i] = arr[i-1] + arr[i-2];
            arr[i] %= 1000000007; 
        }
        return arr[n];
    }
};