题解 P3960 [NOIP2017 提高组] 列队

思路

“向左看齐”和“向前看齐”这两条指令，相当于在序列中删除一个元素并维护行、列中的相对顺序。

由于此题是教练给出的平衡树习题，想到用平衡树来维护所谓的序列。

对每一行开一棵平衡树，删除 ((x,y)) 相当于在第 (x) 行的平衡树中删除第 (y) 个元素。在删除之后，我们发现这一行已经“向左看齐”了。

那么怎么做到“向前看齐”呢？在“向左看齐”之后，缺人的位置一定在最后一列，也就是说，只有最后一列才会因“向前看齐”而改变。想到对最后一列另外开一棵平衡树。对于删除 ((x,y)) 操作，在最后一列的这棵平衡树上删除第 (x) 个 元素，再把之前第 (x) 行删除的第 (y) 个元素加到这棵平衡树的末端。

实现

这里用 Splay 实现

对于每 (i) 行，建一棵平衡树标号为 (i)

对于第 (m) 列，建一棵平衡树标号为 (0)

对于每一次操作：

1. 删除第 (0) 棵平衡树中第(i)个元素
2. 删除第 (i) 棵平衡树中第(j)个元素
3. 在第 (0) 棵平衡树末端插入在 2. 中删除的元素

这样做的原因：

1. 在第 (0) 棵平衡树中删除元素，实现了“向前看齐”
2. 在第 (i) 棵平衡树中删除元素，实现了“向左看齐”
3. 在第 (0) 棵平衡树末插入元素，实现了“学生归队”

另外，如果对于每一个元素我们都建立了一个结点的话，会有大量多余的空间开销。因为有很多连在一起的元素自始至终都没有分开，我们将区间存在一个结点中，当用到这个区间中的一个结点时再考虑对区间拆分为两个结点。

CODE

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
inline int gin(){
    int s=0,f=1;
    char c=getchar();
    while(c<'0' || c>'9'){
        if(c=='-') f=-1;
        c=getchar();
    }
    while(c>='0'&&c<='9'){
        s=(s<<3)+(s<<1)+(c^48);
        c=getchar();
    }
    return s*f;
}

const int N=3e6+5;
int n,m,q,a[N],tot;
int sz[N],ch[N][2],val[N][2],fa[N];

struct Splay{

	int rt;

    inline void push(int x){
        sz[x]=sz[ch[x][0]]+sz[ch[x][1]]+val[x][1]-val[x][0]+1;
    }

	inline bool wrt(int x){return x==ch[fa[x]][1];}
	inline void rotate(int x){
	    int p=fa[x],g=fa[p],k=wrt(x),b=ch[x][k^1];
	    ch[p][k]=b,fa[b]=p;
	    ch[g][wrt(p)]=x,fa[x]=g;
	    ch[x][k^1]=p,fa[p]=x;
	    push(p),push(x);
	}
	
	inline void splay(int x,int tar=0){
	    while(fa[x]!=tar){
	        if(fa[fa[x]]!=tar)
	            wrt(x)==wrt(fa[x])?rotate(fa[x]):rotate(x);
	        rotate(x);
	    }
	    if(!tar) rt=x;
	}

    inline int kth(int k){
        int x=rt;
        while(1){
            if(ch[x][0] && k<=sz[ch[x][0]]) x=ch[x][0];
            else if(ch[x][1] && k>sz[x]-sz[ch[x][1]]) k-=sz[x]-sz[ch[x][1]],x=ch[x][1];
            else {
                k-=sz[ch[x][0]];
                if(k!=1){
                    fa[ch[++tot][0]=ch[x][0]]=tot,fa[ch[x][0]=tot]=x;
                    val[tot][0]=val[x][0],val[tot][1]=val[x][0]+k-2,val[x][0]=val[tot][1]+1;
                    push(tot);
                    k=1;
                }
                if(k!=val[x][1]-val[x][0]+1){
                    fa[ch[++tot][1]=ch[x][1]]=tot,fa[ch[x][1]=tot]=x;
                    val[tot][1]=val[x][1],val[tot][0]=val[x][0]+k,val[x][1]=val[tot][0]-1;
                    push(tot);
                }
                return x;
            }
        }
    }

    inline int newNode(int l,int r){
        int x=++tot;
        ch[x][0]=ch[x][1]=fa[x]=0;
        val[x][0]=l,val[x][1]=r;
        sz[x]=r-l+1;
        return x;
    }

    inline int build(int l,int r){
        if(l>r) return 0;
        int mid=l+r>>1,x=newNode(a[mid],a[mid]);
        if(l==r) return x;
        if(ch[x][0]=build(l,mid-1)) fa[ch[x][0]]=x;
		if(ch[x][1]=build(mid+1,r)) fa[ch[x][1]]=x;
        push(x);
        return x;
    }

    inline void join(int u,int v){
        fa[u]=0,fa[v]=0;
        int w=u;
        while(ch[w][1]) w=ch[w][1];
        splay(w);
        ch[w][1]=v,fa[v]=w;
        push(w);
    }

    inline int pop(int k){
        int x=kth(k);
        splay(x);
        if(!ch[x][0] || !ch[x][1])
            fa[rt=ch[x][0]|ch[x][1]]=0;
        else join(ch[x][0],ch[x][1]);
        return val[x][0];
    }

    inline void push_back(int v){
        int x=newNode(v,v);
        if(!rt) rt=x;
        else {
            int w=rt;
            while(ch[w][1]) w=ch[w][1];
            splay(w);
            ch[w][1]=x,fa[x]=w;
            push(w);
        }
    }

}s[N];

/*
对于每i行，建一棵平衡树标号为i
对于第m列，建一棵平衡树标号为0

对于每一次操作：
1. 删除第0棵平衡树中第i个元素
2. 删除第i棵平衡树中第j个元素
3. 在第0棵平衡树末端插入在2.中删除的元素

这样做的原因：
1. 在第0棵平衡树中删除元素，实现了“向前看齐”
2. 在第i棵平衡树中删除元素，实现了“向左看齐”
3. 在第0棵平衡树末插入元素，实现了“学生归队”
*/

signed main(){
//	freopen("1.in","r",stdin);
//	freopen("my.out","w",stdout);
    n=gin(),m=gin(),q=gin();
    for(int i=1;i<=n;i++){
        s[i].rt=s[i].newNode((i-1)*m+1,i*m-1);
        a[i]=i*m;
    }
	s[0].rt=s[0].build(1,n);
    while(q--){
        int x=gin(),y=gin(),z;
	   	s[x].push_back(s[0].pop(x));
	    printf("%lld
",z=s[x].pop(y));
        s[0].push_back(z);
    }
    return 0;
}