01背包问题

01背包

有n种物品，背包重量为V，接下来有每个背包的重量w[i],价值v[i],求最大的总价值。

这是01背包的基本样式，

首先分析问题，有两种状态，放还是不放，显然得出了我们第一个dp方程

dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i])

表示前i个已经放了重量为j的物品所能获得的最大价值。

咱们继续想想，数据过大怎么办

于是想想优化空间复杂度

得到了新的dp方程

dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i])       （j=V;j>=0;j--）

为什么这是对的呢？

显然在递推的过程中，小的状态并不影响大的状态，因为根本还没有计算到那一步

要保证计算第i步时，是由第i-1步推出的

所以

贴代码

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring> 
using namespace std;
int n,V,dp[1010],v[1005],w[1005];
int main()
{
    scanf("%d %d",&V,&n); 
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d %d",&w[i],&v[i]);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=V;j>=w[i];j--)
        {
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
        }
    }
    printf("%d
",dp[V]);
}

我还是太蒻了

例题（洛谷1060 开心的金明） https://www.luogu.org/problemnew/show/P1060

太简单了，贴代码

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
int dp[30030];
int w[30];
int c[30];    
int i,j;
int n,m;
int main() 
{
    scanf("%d %d",&m,&n);
    for (i=1;i<=n;i++) 
        scanf("%d%d",&w[i],&c[i]);
    for (i=1;i<=n;i++) 
    {
        for (j=m;j>=w[i];j--) 
        {
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+w[i]*c[i]);
        }
    }
    printf("%d
",dp[m]);
    return 0 ;
}

 题目：

这题也十分简单

简单的01背包，ai，bi，如果更优及更新

上代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=10005;
int dp[N],wa[N],va[N],wb[N],vb[N];
int n,v;
int main()
{
    scanf("%d %d",&n,&v);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d %d %d %d",&wa[i],&va[i],&wb[i],&vb[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=v;j>=0;j--)
        {
            if(j>=wa[i])
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-wa[i]]+va[i]);
            if(j>=wb[i])
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-wb[i]]+vb[i]);
        }
    printf("%d
",dp[v]);
    return 0;
}