【特征匹配】SIFT原理之KD树+BBF算法解析

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   继上一篇中已经介绍了SIFT原理与C源代码剖析，最后得到了一系列特征点，每一个特征点相应一个128维向量。假如如今有两副图片都已经提取到特征点，如今要做的就是匹配上相似的特征点。

相似性查询有两种基本方式：1.范围查询：即给点查询点和查询阈值，从数据集中找出全部与查询点距离小于阈值的点。

                          2.K近邻查询：给点查询点及正整数K,从数据集中找到与查询点近期的K个数据，当K=1时，就是近期邻查询。

特征匹配算子能够分为两类：1.穷举法：即将数据集中的点与查询点逐一计算距离，假设图1提取到N1个特征点，图2中提取到N2个特征点，用穷举法匹配，要做N1×N2运算。这样的方法显然效率低下。

                          2.建立数据索引:对数据进行分析。对搜索数据空间进行划分。按划分时是否有重叠，分为KD树和R树。KD树是对空间划分时没有重叠的一种。

                                   

       一个三维k-d树。第一次划分（红色）把根节点（白色）划分成两个节点。然后它们分别再次被划分（绿色）为两个子节点。最后这四个子节点的每个都被划分（蓝色）为两个子节点。由于没有更进一步的划分。最后得到的八个节点称为叶子节点。

KD树的构建：KD树是一个二叉树，对数据空间空间进行划分，每个结点相应一个空间范围。

如上图所看到的。三维空间的划分方式。首先确定在数据集上相应方差最大的维度ki，并找到在ki维度上的数据集的中值kv（并作为根节点）,即第一步把空间划分成两部分，在第ki维上小于kv的为一部分称为左子节点。大于kv的为另外一部分相应右子节点，，然后再利用相同的方法，对左子结点和右子节点继续构建二叉树，直所剩数据集为空。

举个样例：有5个数据，每一个数据都是5维。建立KD树，A<7,5,7,3,8>;B<3,4,1,2,7>;C<5,2,6,6,9>;D<9,3,2,4,1>,E<2,1,5,1,4>。首先在计算在5个维度上的方差为6.56；2；5.36；2.96；8.56；可见在第5维度上方差最大。继续在第5个维度上找到中值为7，即B点，在第5维度上值小于7的作为左子树数据(A,C)，大于7的作为右子树(D,E)，然后继续在A,C,两点上计算方差最大的维度，继续划分。

D,E也是如此。例如以下图。ki表示维度，kv表示该维度上的值。

KD树的查询：从根节点開始沿二叉树搜索，直到叶子结点为止。此时该叶节点并不一定是近期的点。可是一定是叶子结点附近的点。所以一定要有回溯的过程，回溯到根节点为止。

比如：查询与M<5，4。1，3，6>点的近期邻点，查询路径为B。A。C，计算完MC的距离后，逆序向上，查询A及A的右子树，再次回溯B及B左子树，最后得到近期的距离,MB点近期。

假如数据集是维数是D,一般来说要求数据的规模N须要满足N>>2^D条件，才干达到高效的搜索。一般来说用标准的KD树时数据集的维数不超过20，可是像SIFT特征描写叙述子128为，SURF描写叙述子为64维，所以要对现有的KD树进行改进。

BBF:上述回溯的过程，全然是依照查询时路径决定的，没有考虑查询路径上的数据性质。BBF(Best-Bin-First)查询机制能确保优先包括近期邻点的空间，即BBF维护了一个优先队列，每一次查询到左子树或右子树的过程中，同一时候计算查询点在该维度的中值的距离差保存在优先队列里，同一时候还有一个孩子节点地址也存入队列里。回溯的过程即从优先队列按（差值）从小到大的顺序依次回溯。

如上一个样例，首先把B保存在优先队列里。然后開始从优先队列里取数据，取出B，发现要到左孩子A节点里继续查询，这时，要把右孩子节点D保存在优先队列里，同一时候加上距离属性ki=5。kv=7。所以d=7-6=1，这时优先队列里简记为D(1)；同理，假设A有右孩子。也要存入优先队列，加上属性ki=2,kv=5,d=5-4=1;（样例不太恰当，o(╯□╰)o），回溯的过程是依照优先队列的距离逐个回溯，直到优先队列为空，或者超时，停止。BBF设置了超时机制。为了在高维数据上，满足检索速度的须要以精度换取时间。获得高速查询。这样可知。BBF机制找到的近期邻是近似的，并不是是近期的，仅仅能说是离近期点比較近而已。超时机制在算法的实现上，限定了从优先队列中提取数据的次数。

以下从算法上解析：

构建KD树：

struct kd_node* kdtree_build( struct feature* features, int n )//features为特征带你。n为个数
{
  struct kd_node* kd_root;

  if( ! features  ||  n <= 0 )
    {
      fprintf( stderr, "Warning: kdtree_build(): no features, %s, line %d
",
	       __FILE__, __LINE__ );
      return NULL;
    }

  kd_root = kd_node_init( features, n );   //建立根节点。每次建立一个节点存入一个特征点
  expand_kd_node_subtree( kd_root );//以根节点開始扩展KD树

  return kd_root;
}

static struct kd_node* kd_node_init( struct feature* features, int n )
{
  struct kd_node* kd_node;

  kd_node = malloc( sizeof( struct kd_node ) );
  memset( kd_node, 0, sizeof( struct kd_node ) );
  kd_node->ki = -1;               //属性ki初始化为1
  kd_node->features = features;//指向特征点
  kd_node->n = n;     //节点属性n保存以kd_node为根的树上总节点数

  return kd_node;
}

扩展KD树：以当前结点的最慷慨差的维数为相应的中值为基准，把全部数据分成左右子树的结点数据。并以此递归下去，直到叶子结点的创建即返回。

static void expand_kd_node_subtree( struct kd_node* kd_node )  //递归法建立KD树
{
  /* base case: leaf node */
  if( kd_node->n == 1  ||  kd_node->n == 0 ) //假设剩下一个节点，成为叶子节点
    {
      kd_node->leaf = 1;
      return;
    }

  assign_part_key( kd_node );   //计算最慷慨差的相应的维数,ki和kv
  partition_features( kd_node );//按第ki维的数据大小分成左子树数据和右子树的数据

  if( kd_node->kd_left )   //继续构建左子树
    expand_kd_node_subtree( kd_node->kd_left );
  if( kd_node->kd_right )//继续构建右子树
    expand_kd_node_subtree( kd_node->kd_right );
}

计算最慷慨差相应的维数ki，与中值kv,取中值时，採用了最坏情况也是线性时间的选择算法，我的博客之前写过，这里不再分析<中位数排序>点击打开链接

static void assign_part_key( struct kd_node* kd_node )  //计算节点数据的最慷慨差相应的维数ki，和中值kv
{
  struct feature* features;
  double kv, x, mean, var, var_max = 0;
  double* tmp;
  int d, n, i, j, ki = 0;

  features = kd_node->features;
  n = kd_node->n;
  d = features[0].d;

  /* partition key index is that along which descriptors have most variance */
  for( j = 0; j < d; j++ )        //计算d维数据上，全部维数上的方差。
    {
      mean = var = 0;
      for( i = 0; i < n; i++ )
	mean += features[i].descr[j];
      mean /= n;
      for( i = 0; i < n; i++ )
	{
	  x = features[i].descr[j] - mean;
	  var += x * x;
	}
      var /= n;                          //计算第j维的数据的方差

      if( var > var_max )
	{
	  ki = j;
	  var_max = var;
	}
    }

  /* partition key value is median of descriptor values at ki */
  tmp = calloc( n, sizeof( double ) );   
  for( i = 0; i < n; i++ )   //取得全部数据上第ki维上的数据
    tmp[i] = features[i].descr[ki];
  kv = median_select( tmp, n );   //找到第ki维度上中间的值。这里採用了最坏情况执行时间O(n)的选择算法
  free( tmp );

  kd_node->ki = ki;       //维度
  kd_node->kv = kv;     //中间值
}

按ki维上kv值。把特征点排序，小于等于kv为作为左子树数据，大于kv作为右子树数据

static void partition_features( struct kd_node* kd_node )
{
  struct feature* features, tmp;
  double kv;
  int n, ki, p, i, j = -1;

  features = kd_node->features;
  n = kd_node->n;
  ki = kd_node->ki;
  kv = kd_node->kv;
  for( i = 0; i < n; i++ )      //对特征点按第ki维数据大小排序
    if( features[i].descr[ki] <= kv )
      {
	tmp = features[++j];
	features[j] = features[i];
	features[i] = tmp;
	if( features[j].descr[ki] == kv )
	  p = j;
      }
  tmp = features[p];
  features[p] = features[j];
  features[j] = tmp;

  /* if all records fall on same side of partition, make node a leaf */
  if( j == n - 1 )                                //说明仅仅剩一个节点，标记为叶子节点
    {
      kd_node->leaf = 1;
      return;
    }

  kd_node->kd_left = kd_node_init( features, j + 1 );//创建左子树，里面有j+1个结点
  kd_node->kd_right = kd_node_init( features + ( j + 1 ), ( n - j - 1 ) );//创建右子树，里面有n-j-1个结点
}

☆KD树已经创建完成。如今要做的是查询。查询与特征点近期邻的K个特征点，首先把根节点插入到优先队列，然后開始从有优先队列中取元素，遍历到叶节点，同一时候路径过程中。未查询的还有一个结点的增加优先队列（按ki维上的数值与kv的差值的绝对值大小），然后再次从优先队列中取结点，再次遍历到叶节点，如此重复...直到遇到超时限制，或者遍历全然部节点为止。

/*
kd_root为创建好的KD树。feat为要查询的特征点
k为要找到的近邻节点数，SIFT中选取2
nbrs存储查询到的k个近邻数据
max_nn_chkes为最大提取队列次数，即超时限制
成功返回找到的近邻数据个数，否则返回-1
*/
int kdtree_bbf_knn( struct kd_node* kd_root, struct feature* feat, int k,
		    struct feature*** nbrs, int max_nn_chks )
{
  struct kd_node* expl;
  struct min_pq* min_pq;
  struct feature* tree_feat, ** _nbrs;
  struct bbf_data* bbf_data;
  int i, t = 0, n = 0;

  if( ! nbrs  ||  ! feat  ||  ! kd_root )
    {
      fprintf( stderr, "Warning: NULL pointer error, %s, line %d
",
	       __FILE__, __LINE__ );
      return -1;
    }

  _nbrs = calloc( k, sizeof( struct feature* ) );
  min_pq = minpq_init();                     //创建一个最小优先队列
  minpq_insert( min_pq, kd_root, 0 );  //在优先队列在插入第一个根元素
  while( min_pq->n > 0  &&  t < max_nn_chks )     //假设队列不为空且在超时次数内
    {
      expl = (struct kd_node*)minpq_extract_min( min_pq );//在优先队列中取出一个元素
      if( ! expl )
	{
	  fprintf( stderr, "Warning: PQ unexpectedly empty, %s line %d
",
		   __FILE__, __LINE__ );
	  goto fail;
	}

      expl = explore_to_leaf( expl, feat, min_pq );// 找到特征点在KD树叶子节点位置，过程中未查询的增加优先队列
      if( ! expl )
	{
	  fprintf( stderr, "Warning: PQ unexpectedly empty, %s line %d
",
		   __FILE__, __LINE__ );
	  goto fail;
	}

      for( i = 0; i < expl->n; i++ )     //遍历以expl为根的子树全部节点
	{
      //printf("%x",expl->features[i].feature_data);
	  tree_feat = &expl->features[i];
	  bbf_data = malloc( sizeof( struct bbf_data ) );
	  if( ! bbf_data )
	    {
	      fprintf( stderr, "Warning: unable to allocate memory,"
		       " %s line %d
", __FILE__, __LINE__ );
	      goto fail;
	    }
    //bbf_data->old_data 这个数据没实用途。由于特征点属性中没有使用到feature_data这个自己定义类型
	  bbf_data->old_data = tree_feat->feature_data;    
     printf("%x",bbf_data->old_data);                     
	  bbf_data->d = descr_dist_sq(feat, tree_feat);    //计算两特征点的欧式距离
	  tree_feat->feature_data = bbf_data;
	  n += insert_into_nbr_array( tree_feat, _nbrs, n, k ); //找到K个近邻的特征点，存入数组_nbrs中。从小到大的距离；
	}
      t++;
    }

  minpq_release( &min_pq );
  for( i = 0; i < n; i++ )
    {
      bbf_data = _nbrs[i]->feature_data;
      _nbrs[i]->feature_data = bbf_data->old_data;
      free( bbf_data );
    }
  *nbrs = _nbrs;
  return n;

 fail:
  minpq_release( &min_pq );
  for( i = 0; i < n; i++ )
    {
      bbf_data = _nbrs[i]->feature_data;
      _nbrs[i]->feature_data = bbf_data->old_data;
      free( bbf_data );
    }
  free( _nbrs );
  *nbrs = NULL;
  return -1;
}

这里创建优先队列採用了堆排序的思想，堆排序一个重要的应用就是优先队列，在一个包括n个元素的堆中，全部优先队列的操作都能够在lgn时间内完毕。优先队列也有两种形式。最大优先队列和最小优先队列，这里使用的是最小优先队列。即key值越小优先级越高。关于堆排序的原理。能够看之前的堆排序的算法<堆排序>点击打开链接。

struct min_pq* minpq_init()  //队列初始化
{
  struct min_pq* min_pq;

  min_pq = malloc( sizeof( struct min_pq ) );
  min_pq->pq_array = calloc( MINPQ_INIT_NALLOCD, sizeof( struct pq_node ) );//分配队列的空间
  min_pq->nallocd = MINPQ_INIT_NALLOCD;
  min_pq->n = 0;//队列中元素的个数

  return min_pq;
}

int minpq_insert( struct min_pq* min_pq, void* data, int key )//向优先队列中插入元素
{
  int n = min_pq->n;

  /* double array allocation if necessary */
  if( min_pq->nallocd == n )
    {
      min_pq->nallocd = array_double( (void**)&min_pq->pq_array,
				      min_pq->nallocd,
				      sizeof( struct pq_node ) );
      if( ! min_pq->nallocd )
	{
	  fprintf( stderr, "Warning: unable to allocate memory, %s, line %d
",
		   __FILE__, __LINE__ );
	  return 1;
	}
    }
  min_pq->pq_array[n].data = data;
  min_pq->pq_array[n].key = INT_MAX;
  decrease_pq_node_key( min_pq->pq_array, min_pq->n, key ); //插入元素到优先队列中,堆排序算法
  min_pq->n++;
  return 0;
}

从队列中取出一个节点，沿着结点遍历到叶节点为止，同一时候未查询的增加优先队列。

static struct kd_node* explore_to_leaf( struct kd_node* kd_node,    //从kd_node開始開始查询直到叶节点为止
					struct feature* feat,
					struct min_pq* min_pq )
{
  struct kd_node* unexpl, * expl = kd_node;
  double kv;
  int ki;

  while( expl  &&  ! expl->leaf )
    {
      ki = expl->ki;
      kv = expl->kv;
      
      if( ki >= feat->d )
	{
	  fprintf( stderr, "Warning: comparing imcompatible descriptors, %s" 
		   " line %d
", __FILE__, __LINE__ );
	  return NULL;
	}
      if( feat->descr[ki] <= kv )
	{
	  unexpl = expl->kd_right;
	  expl = expl->kd_left;
	}
      else
	{
	  unexpl = expl->kd_left;
	  expl = expl->kd_right;
	}
      
      if( minpq_insert( min_pq, unexpl, ABS( kv - feat->descr[ki] ) ) )   //未查询到的结点，按差值大小增加优先队列
	{
	  fprintf( stderr, "Warning: unable to insert into PQ, %s, line %d
",
		   __FILE__, __LINE__ );
	  return NULL;
	}
    }

  return expl;
}

计算两特征点的欧式距离：

double descr_dist_sq( struct feature* f1, struct feature* f2 )
{
  double diff, dsq = 0;
  double* descr1, * descr2;
  int i, d;

  d = f1->d;
  if( f2->d != d )
    return DBL_MAX;
  descr1 = f1->descr;
  descr2 = f2->descr;

  for( i = 0; i < d; i++ )
    {
      diff = descr1[i] - descr2[i];
      dsq += diff*diff;
    }
  return dsq;
}

找到的特征点距离插入nbrs队列，作为输出。

nbrs也是依照从小到大的顺序存储距离，

假如要插入的新的距离为D，队列此时最后一个元素d

    1.假设队列未满的情况（即要取得K近邻还没有找到K个）(1) D>=d,直接插入到队列后面；(2) D<d,则找到要插入的位置。然后比D大的元素都往后移动一位。

    2.假设队列已经满了：(1)D>=d,直接丢弃当前的距离；（2）D<d,则找到要插入的位置。然后比D大的元素都往后移动一位；最后一个元素丢弃。

static int insert_into_nbr_array( struct feature* feat, struct feature** nbrs,
				  int n, int k )
{
  struct bbf_data* fdata, * ndata;
  double dn, df;
  int i, ret = 0;

  if( n == 0 )
    {
      nbrs[0] = feat;
      return 1;
    }

  /* check at end of array */
  fdata = (struct bbf_data*)feat->feature_data;                          //推断要插入的位置
  df = fdata->d;
  ndata = (struct bbf_data*)nbrs[n-1]->feature_data;
  dn = ndata->d;
  if( df >= dn )                 //准备插入到最后
    {
      if( n == k )              //但K近邻队列已满，舍弃
	{
	  feat->feature_data = fdata->old_data; //舍弃掉前。再次保留之前自己定义的数据
	  free( fdata );
	  return 0;
	}
      nbrs[n] = feat;
      return 1;
    }



  /* find the right place in the array插入到队列中间，分为队列满或不满的情况 */
  if( n < k )                 //K近邻队列没满，元素向后平移
    {
      nbrs[n] = nbrs[n-1];
      ret = 1;
    }
  else
    {
      nbrs[n-1]->feature_data = ndata->old_data;//队列已满。最后一个要舍弃，恢复之前的数据
      free( ndata );
    }
  i = n-2;
  while( i >= 0 )           //元素逐次向后平移找到，队列中适当的位置；
    {
      ndata = (struct bbf_data*)nbrs[i]->feature_data;
      dn = ndata->d;
      if( dn <= df )
	break;
      nbrs[i+1] = nbrs[i];
      i--;
    }
  i++;
  nbrs[i] = feat;   //插入元素

  return ret;
}

至此，关于SIFT原理以及特征点匹配的算法已介绍完成，兴许文章将陆续更新surf,brife,fast,ORB等一系列关于特征匹配的文章。再次感谢CSDN上的大牛们！