【洛谷P2398】GCD SUM

题目大意：求 $$sumlimits_{i=1}^nsumlimits_{j=1}^ngcd(i,j)$$

题解：
最重要的一步变换在于。

[sumlimits_{k=1}^n k sumlimits_{d=1}^{lfloor{nover k} floor}mu(d)lfloor{nover kd} floorlfloor{nover kd} floor ]

令 $$t = kd$$，枚举 (t) 得

[sumlimits_{t=1}^nlfloor{nover t} floorlfloor{nover t} floor sumlimits_{k|t}mu({tover k})k ]

根据狄利克雷卷积可知，后面求和为欧拉函数 (varphi(t))。最后线性筛+除法分块即可，时间复杂度 (O(n))。

代码如下

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
typedef long long LL;

int n,prime[maxn],tot;
LL phi[maxn],sum[maxn];
bool vis[maxn];

void sieve(){
	phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!vis[i])prime[++tot]=i,phi[i]=i-1;
		for(int j=1;i*prime[j]<=n;j++){
			vis[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0){
				phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
				break;
			}else{
				phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)sum[i]=sum[i-1]+phi[i];
}

void solve(){
	LL ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int j=n/(n/i);
		ans+=(LL)(n/i)*(n/i)*(sum[j]-sum[i-1]);
		i=j;
	}
	printf("%lld
",ans);
}

int main(){
	scanf("%d",&n);
	sieve();
	solve();
	return 0;
}