BZOJ1196: [HNOI2006]公路修建问题

Description

OI island是一个非常漂亮的岛屿,自开发以来,到这儿来旅游的人很多。然而，由于该岛屿刚刚开发不久，所以那里的交通情况还是很糟糕。所以，OIER Association组织成立了，旨在建立OI island的交通系统。 OI island有n个旅游景点，不妨将它们从1到n标号。现在，OIER Association需要修公路将这些景点连接起来。一条公路连接两个景点。公路有，不妨称它们为一级公路和二级公路。一级公路上的车速快，但是修路的花费要大一些。 OIER Association打算修n-1条公路将这些景点连接起来（使得任意两个景点之间都会有一条路径）。为了保证公路系统的效率, OIER Association希望在这n-1条公路之中,至少有k条(0≤k≤n-1)一级公路。OIER Association也不希望为一条公路花费的钱。所以，他们希望在满足上述条件的情况下，花费最多的一条公路的花费尽可能的少。而你的任务就是，在给定一些可能修建的公路的情况下，选择n-1条公路，满足上面的条件。

Input

第一行有三个数n(1≤n≤10000),k(0≤k≤n-1),m(n-1≤m≤20000)，这些数之间用空格分开。 N和k如前所述，m表示有m对景点之间可以修公路。以下的m-1行，每一行有4个正整数a,b,c1,c2 （1≤a,b≤n,a≠b,1≤c2≤c1≤30000）表示在景点a与b 之间可以修公路,如果修一级公路,则需要c1的花费,如果修二级公路,则需要c2的花费。

Output

一个数据，表示花费最大的公路的花费。

Sample Input

10 4 20
3 9 6 3
1 3 4 1
5 3 10 2
8 9 8 7
6 8 8 3
7 1 3 2
4 9 9 5
10 8 9 1
2 6 9 1
6 7 9 8
2 6 2 1
3 8 9 5
3 2 9 6
1 6 10 3
5 6 3 1
2 7 6 1
7 8 6 2
10 9 2 1
7 1 10 2

Sample Output

由于是最小化最大值，我们可以考虑二分答案，将问题转化为判定问题。

我们怎么判定一个答案x是否合法呢？考虑先将所有c1值小于等于x的边加进去，看看是否有至少k条边。再将所有c2值小于等于x的边加进去，看看是不是能构成一棵生成树。

如果用路径压缩有一些慢（216ms）

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define rep(s,t) for(int i=s;i<=t;i++)
#define ren for(int i=first[x];i!=-1;i=next[i])
using namespace std;
inline int read() {
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
    for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
    return x*f;
}
const int maxn=20010;
int n,k,m,pa[maxn];
int findset(int x) {return x==pa[x]?x:pa[x]=findset(pa[x]);}
struct Edge {int u,v,w1,w2;}e[maxn];
int merge(int x,int y) {
    x=findset(x);y=findset(y);pa[x]=y;
    return x!=y;
}
int check(int x) {
    rep(1,n) pa[i]=i;
    int tot=0,cnt=n;
    rep(1,m) if(e[i].w1<=x) if(merge(e[i].u,e[i].v)) tot++;
    cnt-=tot;if(tot<k) return 0;
    rep(1,m) if(e[i].w2<=x) if(merge(e[i].u,e[i].v)) cnt--;
    return cnt==1;
}
int main() {
    n=read();k=read();m=read()-1;
    rep(1,m) e[i].u=read(),e[i].v=read(),e[i].w1=read(),e[i].w2=read();
    int l=1,r=30000,mid;
    while(l<r) if(check(mid=l+r>>1)) r=mid; else l=mid+1;
    printf("%d
",l);
    return 0;
}

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如果用按秩合并的办法竟然出奇地快（96ms）

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define rep(s,t) for(int i=s;i<=t;i++)
#define ren for(int i=first[x];i!=-1;i=next[i])
using namespace std;
inline int read() {
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
    for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
    return x*f;
}
const int maxn=20010;
int n,k,m,pa[maxn],rk[maxn];
int findset(int x) {return x==pa[x]?x:findset(pa[x]);}
struct Edge {int u,v,w1,w2;}e[maxn];
int merge(int x,int y) {
    x=findset(x);y=findset(y);if(x==y) return 0;
    if(rk[x]>rk[y]) swap(x,y);
    pa[x]=y;if(rk[x]==rk[y]) rk[y]++;
    return 1;
}
int check(int x) {
    rep(1,n) pa[i]=i,rk[i]=0;
    int tot=0,cnt=n;
    rep(1,m) if(e[i].w1<=x) if(merge(e[i].u,e[i].v)) tot++;
    cnt-=tot;if(tot<k) return 0;
    rep(1,m) if(e[i].w2<=x) if(merge(e[i].u,e[i].v)) cnt--;
    return cnt==1;
}
int main() {
    n=read();k=read();m=read()-1;
    rep(1,m) e[i].u=read(),e[i].v=read(),e[i].w1=read(),e[i].w2=read();
    int l=1,r=30000,mid;
    while(l<r) if(check(mid=l+r>>1)) r=mid; else l=mid+1;
    printf("%d
",l);
    return 0;
}

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