牛客20347 SDOI2011计算器（bsgs

https://ac.nowcoder.com/acm/problem/20347

这篇是为了补bsgs（北上广深算法）。

题意：

1、给定y,z,p,计算Y^Z Mod P 的值； 

2、给定y,z,p，计算满足xy≡ Z ( mod P )的最小非负整数；

3、给定y,z,p，计算满足Y^x ≡ Z ( mod P)的最小非负整数。

 

思路：

1.当然是裸的快速幂取模啦。

2.原式<=>yx+pk=z有解，exgcd记录d=gcd(y,p)，看是否d|z即可。

3.要求满足形如a^x ≡ b (mod p)的最小非负整数x。

由周期性只需在[0,p)讨论即可，证明的话，抽屉原理显然，或者由费马小定理（  当p为质数且(a,p)=1时 a^(p-1)=1 (mod p)  )能推出a^k=a^(k mod (p-1)) (mod p)。

把x分块，每块长度是m，其中m=ceil(sqrt(p))，则a^(i*m-j) = b (mod p)，移项得a^(i*m) = b*a^j (mod p)

枚举j（范围0-m)，将b*a^j存入哈希表。

枚举i（范围1-m），从哈希表找出第一个满足a^(i*m) = b*a^j (mod p)的i

此时x = i*m-j就是答案

时间复杂度O(m+p/m),m取√p时最优。

 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int T,k,a,b,p;
map<int,int>mp;

int kuai(int a,int b,int mod)
{
    if(b==1)return a;
    int x=kuai(a,b/2,mod);
    if(b%2==0)return x*x%mod;
    else return x*x%mod*a%mod;
}

void exgcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y)
{
    if(b==0){d=a;x=1;y=0;}
    else{exgcd(b,a%b,d,y,x);y-=x*(a/b);}
}

int bsgs(int a,int b,int p){
    a%=p;b%=p;
    if(!a&&!b) return 1;
    if(!a||!b) return -1;
    mp.clear();
    int m = ceil(sqrt(1.0*p)),tmp=1;
    mp[tmp*b%p]=0;
    for(int j=1;j<=m;j++){
        tmp = tmp*a%p;
        if(!mp[tmp*b%p]) mp[tmp*b%p] = j;
    }
    int t = 1,ans;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        t=t*tmp%p;
        if(mp[t]){
            ans = i*m-mp[t];
            return (ans%p+p)%p;
        }
    }
    return -1;
}

signed main(){
    
   scanf("%lld%lld",&T,&k);
    while(T--)
    {
        scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&p);
        if(k==1)printf("%lld
",kuai(a,b,p)%p);
        else if(k==2)
        {
            int x=0,y=0,d;
            exgcd(a,p,d,x,y);
            if(b%d)
            {
                puts("Orz, I cannot find x!");
                continue;
            }
            x=x*b/d;
            x=(x%p+p)%p;
            printf("%lld
",x);
        }
        else{
            int ans=bsgs(a,b,p);
            if(ans==-1)puts("Orz, I cannot find x!");
            else printf("%lld
",ans);
        }
    }
    return 0;
}