题目描述
有$m$个在$[0,2^n)$内均匀随机取值的整型变量，球至少有两个变量取值相同的概率。
为了避免精度误差，假设你的答案可以表示成$frac{a}{b}$的形式，（其中$(a,b)=1$），你需要输出$a$和$b$对${10}^6+3$取模后的值。
输入格式
第一行两个正整数$n,m$。
输出格式
一行两个整数，它们的含义如题所述。
样例
样例输入1：
3 2
样例输出1：
1 8
样例输入2：
1 3
样例输出2：
1 1
样例输入3：
4 3
样例输出3：
23 128
数据范围与提示
对于$10\%$的数据，$nm<16$；
对于$30\%$的数据，$nm<64$；
对于$50\%$的数据，$nmleqslant {10}^3$；
对于$70\%$的数据，$mleqslant {10}^6$；
对于$100\%$的数据，$1leqslant nleqslant {10}^{18},2leqslant mleqslant {10}^{18}$。
题解
数学题就要推式子。
显然这个概率就是$dfrac{A_{2^2}^m}{2^{nm}}$，也就是$dfrac{prod limits_{i=2^n-m+1}^{2^n-1}}{2^{n(m-1)}}$。
看起来很恐怖，其实如果$m>{10}^6+3$那么在连乘的过程中肯定会有其中一项是$0$，那么结果就是$0$。
但是我们要输出$gcd(a,b)=1$的分子和分母，所以我们还得约分……
发现我们只能约分出来$2$和$2$的倍数，所以我们考虑如何求出来有多少个$2$。
考虑$a$中$2$的个数和$2^n-a$中$2$的个数相同，所以我们只需要求出$(m-1)!$中$2$的个数即可，可以用一种类似快速幂的思想在$Theta(log m)$的时间复杂度内求出，然后约掉这些$2$就是最简分数啦。
时间复杂度：$Theta(m)$。
期望得分：$100$分。
实际得分：$100$分。
代码时刻
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,m;
long long fz,fm;
long long qpow(long long x,long long y)
{
long long res=1;
while(y)
{
if(y&1)res=res*x%1000003;
x=x*x%1000003;
y>>=1;
}
return res;
}
int main()
{
scanf("%lld%lld",&n,&m);
n%=1000002;
int flag=65;
long long pos=1,fj=0;
while(flag--)
{
pos<<=1;
if(pos>=m)break;
fj=(fj+(m-1)/pos)%1000002;
}
long long inv=qpow(qpow(2,fj),1000001);
long long C=qpow(2,n);
fm=qpow(C,(m-1)%1000002)*inv%1000003;
if(m<=1000003)
{
fz=inv;
for(int i=1;i<m;i++)
fz=fz*(C-i+1000003)%1000003;
fz=(fm-fz+1000003)%1000003;
printf("%lld %lld",fz,fm);
}
else printf("%lld %lld",fm,fm);
return 0;
}
rp++