纯属搬运工
新年的军队大概是严格强于此题的，于是我们用新年的军队做法艹！
可以注意到就是求 $n$ 阶排列有 $m=k-1$ 个 $p_i<p_{i+1}$ 的排列数
注意到排列可以映射到 $[0,1]$ 上的 $n$ 个随机变量，故设 $f(x,y,t)$ 表示最后一个取 $t$ 的概率密度函数。用 $x$ 记录相邻个数，若是 $n$ 阶排列那么次数就是 $n-1$ ，同时若新加入的数小于最后加入的数就乘上个 $y$ （其实这里大于小于没关系，是对称的）
$$f(t)=x(\int_{0}^{t} f(\tau)\mathrm{d}\tau+y\int_{t}^{1} f(\tau)\mathrm{d}\tau)+1$$
注意最后 $+1$ 就是 $n=1$ 的情况
简写一下 $f(u,v,t)$
$$f(t)=x(\int_{0}^{t} f(\tau)\mathrm{d}\tau+y\int_{t}^{1} f(\tau)\mathrm{d}\tau)+1$$
注意到答案就是 $n![x^{n-1}y^{m}]\int_{0}^{1}f(t)\mathrm{d}t$ ，所以我们如果能求出 $f$ ，就有推式子的空间了，接下来我们考虑解出 $f$ ，两边求导，有
$$f'=x(1-y)f$$
显然有一个解为 $f(t)=Ce^{x(1-y)t}$ ， $C$ 为一个常数
将式子带到 $t=0$ 与 $t=1$ 时的原式中，设 $I=\int_0^1f(t) \mathrm{d}t$ ，所以有
$$1+xyI=C,1+xI=Ce^{x(1-y)}$$
就有 $C=\frac{1-y}{1-ye^{x(1-y)}}$ ，故
$$ans=n![x^{n-1}y^m]f(t)\mathrm{d}t$$
$$=n![x^{n-1}y^m]\int_{0}^{1}\frac{(1-y)e^{x(1-y)}}{1-ye^{x(1-y)}}$$
$$=n![x^{n-1}y^m]\frac{1}{1-ye^{x(1-y)}}\int_{0}^{1}(1-y)e^{x(1-y)}$$
$$=n![x^{n-1}y^m]\frac{1}{1-ye^{x(1-y)}}\frac{e^{x(1-y)}-1}{x}$$
$$=n![x^ny^m]\frac{e^{x(1-y)}-1}{1-ye^{x(1-y)}}$$
我们把 $e^{x(1-y)}$ 先看作一个常量，有
$$\frac{1}{1-ye^{x(1-y)}}=\sum_{i \ge 0}y^ie^{x(1-y)i}$$
$$ans=n![x^ny^m]\sum_{i \ge 0}y^i [e^{x(1-y)(i+1)}-y^i e^{x(1-y)i}]$$
由于 $x$ 只在 $e$ 指数上，所以可以写作
$$ans=n![y^m]\sum_{i \ge 0}y^i \frac{(1-y)^n(i+1)^n-(1-y)^ni^n}{n!}$$
$$=\sum_{i \ge 0}[y^{m-i}](1-y)^n[(i+1)^n-i^n]$$
$$=\sum_{i=0}^{m}(-1)^{m-i}\tbinom{n}{m-i}[(i+1)^n-i^n]$$
就可以 $O(n)$ 做了