题解 Luogu P3376 【【模板】网络最大流】

本人很弱，只会Dinic、EK与Ford-Fulkerson...(正在学习ISAP...)

这里讲Dinic...

Dinic:与Ford-Fulkerson和的思路相似（话说好像最大流求解都差不多吧），也是使用深搜寻找增广路（至于增广路是什么，只要在学最大流而不是借鉴他人代码的应该都知道吧）。

但是（划重点），Dinic有一个十分不一样的地方（Dinic：我们不一样，不一样！），就是还用了**BFS**（是为了凑齐深搜广搜召唤神龙）！

BFS有什么用呢，除了使时间复杂度更上一层楼之外，还有什么用呢？

这就是Dinic的神奇之处了，BFS反而使时间复杂度降低，与EK看似肩并肩（EK：O(nm^2) Dinic:O(n^2m)）。看上去是肩并肩了，实则在题目上，Dinic基本都比EK优秀，特别是二分图。

扯远了，继续讲Dinic的BFS的用处。

BFS是为了划分等级（周朝的分封制！），使得在找增广路时跳过一些对这条增广路没用的点，使DFS效率大大提高。

另外，代码还可以加上当前弧优化与多路增广使其更快。

多路增广，设置一个变量used，记录这条边的流量，就不用搜到就退了，最后满了再退出。

当前弧优化：设置一个数组，在BFS预处理中将它赋值head[i]，就相当于邻接表里的head，但是（划重点）它的值是随着增广的时候所变小的，然后下次增广时就可以跳过已经用过的边。

献上我丑陋的代码：

#include<cstdio>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define maxn 3000001
inline int read(){//快读
    int r=0,f=1;
    char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){
        if(c=='-')f=-1;
        c=getchar();
    }
    while(c>='0'&&c<='9'){
        r=r*10+c-'0';
        c=getchar();
    }
    return r*f;
}
void write(int x)//快速输出
{
    if(x<0)
        putchar('-'),x=-x;
    if(x>9)
        write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
struct edge{
    int v,c,nxt;
}e[2*maxn];
//struct max_Fow{//本来写了结构体的
    int S,T,N,head[maxn],q[maxn],cur[maxn],level[maxn],tot=0,hd,tl,v;
    inline void init(int s,int t,int n){//为结构体而写
        S=s;
        T=t;
        N=n+1;
        for(register int i=1;i<N;i++)//想想为什么不直接为0
            head[i]=-1;
    }
    inline void add_edge(int u,int v,int c){
        e[tot]=(edge){v,c,head[u]};//为什么从0开始？
        head[u]=tot++;
    } 
    inline void add(int u,int v,int c){
        add_edge(u,v,c);
        add_edge(v,u,0);//反向边
    }
    inline bool BFS(){
        for(register int i=1;i<N;i++){
            cur[i]=head[i];//当前弧优化初始化
            level[i]=0;//等级初始化
        }
        q[1]=S;
        level[S]=1;
        hd=0;tl=1;
        while(hd^tl){//广搜
            hd++;
            for(register int i=head[q[hd]];i!=-1;i=e[i].nxt){
                if(e[i].c&&!level[e[i].v]){
                    tl++;
                    level[e[i].v]=level[q[hd]]+1;
                    q[tl]=e[i].v;
                    if(e[i].v==T)return true;//搜到就退
                }
            }
        }
        return false;//否则无法拓展到汇点
    }
    inline int min(int a,int b){//手写min
        if(a<b)return a;
        return b;
    }
    int DFS(int f,int u){
        if(u==T)return f;
        int d=0,used=0;//多路增广
        for(int &i=cur[u];i!=-1;i=e[i].nxt){//当前弧优化
            if(e[i].c&&level[u]==level[e[i].v]-1){
                if((d=DFS(min(f-used,e[i].c),e[i].v))){
                    e[i].c-=d;
                    e[i^1].c+=d;//为什么可以直接这样？
                    used+=d;//多路增广
                }
            }
        }
        if(!used)level[u]=0;
        return used;
    }
    inline int Dinic(){//求解
        int max_flow=0;
        while(BFS()){
            int d=0;
            while((d=DFS(INF,S)))
                max_flow+=d;
        }
        return max_flow;
    }
//}Flow;
int main(){
    int n=read(),m=read(),s=read(),t=read(),i;
    /*Flow.*/init(s,t,n);
    for(i=1;i<=m;i++){
        int a=read(),b=read(),v=read();
        /*Flow.*/add(a,b,v);
    }
    int ans=/*Flow.*/Dinic();
    write(ans);
    return 0;
}

Q:为什么head[]初始值为-1更好？

A:因为开始值就会为0，xor1就等于+1或-1，那样又会少了一些判断，

并且，Dinic也可以做费用流，只要将广搜换为SPFA就行了

完结撒花！！！✿✿ヽ(°▽°)ノ✿