动态规划和递归方法求解最大值问题

动态规划与递归

最大值问题

给定一组序列 [1, 2, 4, 1, 7, 8, 3]，求不相邻元素求和的最大值

递归

递归的思想是从后到前进行回溯

将序列记为arr，对于最后一个元素3，记为arr[6]，有两种方案。

1. 选择该值，则最优解为OPT[6] = OPT[4] + arr[6]

2. 不选该值。则OPT[6] = OPT[5]

其中，OPT[i]为当前节点最优解的值。

根据以上规律，可得OPT(i) = max(OPT(i-2)+arr[i], OPT(i-1))

边界条件为OPT[0] = arr[0],OPT[1] = max(arr[1], arr[0])

代码

arr = [1, 2, 4, 1, 7, 8, 3]

def rec_opt(arr, i):
    if i == 0:
        return arr[0]
    if i == 1:
        return max(arr[0], arr[1])
    else:
        A = rec_opt(arr, i-2) + arr[i]
        B = rec_opt(arr, i-1)
        return max(A, B)

结果

rec_opt(arr, len(arr)-1)

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递归的不好之处，由于它需要没有保存OPT[i]的功能，因此对于每个OPT[i]的值都要重新计算。每次增加i的值，计算量呈指数级别增长。

动态规划

动态规划的思想是从前向后依次计算当前最优解OPT[i]。

迭代公式依然是OPT(i) = max(OPT(i-2)+arr[i], OPT(i-1))。边界条件也是OPT[0] = arr[0],OPT[1] = max(arr[1], arr[0])。

代码

import numpy as np

def dp_opt(arr):
    opt = np.zeros(len(arr))
    opt[0] = arr[0]
    opt[1] = max(arr[1], arr[0])
    for i in range(2, len(arr)):
        A = opt[i-2] + arr[i]
        B = opt[i-1]
        opt[i] = max(A, B)
    return opt[-1]

结果

dp_opt(arr)

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