• 前缀和与差分


    导图

    导图

    前缀和

    前缀和常用于快速地求解区间范围内的元素总和。

    一维前缀和

    设元素存储在a[N]中,我们设计一个数组s[N]s[i]对应第一个元素到第i个元素的总和,即\(s[i]=a[1]+a[2]+...+a[i]\)

    一维前缀和的维护公式为:\(s[i]=s[i-1]+a[i]\)

    若我们想快速求出区间\([L,R]\)范围内的元素总和。

    我们可以利用前缀和快速求解:\(sum_{[L,R]}=s[R]-s[L-1]\)

    可通过图片加深理解。

    区间求和

    二维前缀和

    设元素存储在a[N][N]中,我们设计一个数组s[N][N],用来存储a[1][1]开始的矩阵总和。

    s[i][j]的含义可看下图。a[N][N]为无色部分,s[N][N]为深色部分。

    那么如何维护二维的前缀和数组呢?可观察下图:

    可发现s[i][j]的面积由橙色区域s[i-1][j]与蓝色区域s[i][j-1]组成后,再去掉重叠部分紫色区域s[i-1][j-1]后加上本身位置的内容a[i][j]得到。

    故得到公式:\(s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a[i][j]\)

    若我们想快速的求出某个子矩阵的元素和,可进行如下处理。

    我们设子矩阵左上位置为(xa,ya),右下位置为(xb,yb)。从而确定子矩阵的形状。

    观察下图,可以发现,子矩阵的总和可由红色区域s[xb][yb]去掉蓝色区域s[xb][ya-1]和橙色区域s[xa-1][yb]后,再加上重复减的紫色区域s[xa-1][ya-1]后得到。即,公式为:\(sum_{子矩阵}=s[xb][yb]-s[xb][ya-1]-s[xa-1][yb]+s[xa-1][ya-1]\)

    差分

    差分常用于对连续的某个区域快速进行增加和减少的值的操作。

    一维差分

    设元素存储在a[N]中,我们设计一个差分数组b[N]b[i]对应a[i]a[i-1]的差值,即\(b[i]=a[i]-a[i-1]\)

    若我们对差分数组b进行前缀和处理,可发现存在逆元特性,前缀和的内容等于原数组a的内容。

    s[1]=b[1]=a[1]
    s[2]=s[1]+b[2]=a[1]+a[2]-a[1]=a[2]
    s[3]=s[2]+b[3]=a[2]+a[3]-a[2]=a[3]
        ...
    s[i]=s[i-1]+b[i]=a[i-1]+a[i]-ba[i-1]=a[i]
    

    若我们对b[i]的对加上x。

    再进行前缀和处理。

    可发现,相当于从i到最后的n,对所有的原数组内容加上了x。

    故,若想对\([L,R]\)的范围的值都加上x。可通过三步实现。

    1. b[L]+=x
    2. b[R+1]-=x
    3. 前缀和处理查分数组b

    二维差分

    设元素存储在a[N][N]中,我们设计一个差分数组b[N][N],用来存储a数组中相邻元素的差值。

    二维差分维护公式为:\(b[i][j]=a[i][j]-a[i][j-1]-(a[i-1][j]-a[i-1][j-1])=a[i][j]-a[i][j-1]-a[i-1][j]+a[i-1][j-1]\)

    若我们对差分数组b进行前缀和处理,存在逆元特点,前缀和结果为原数组a中的内容。

    若我们对差分数组b[xa][yb]+=x,再对差分数组求前缀和。可发现,(xa,ya)(n,n)的原数组内容都加上了x。

    若我们想快速地对某个子矩阵区域的元素和加减值。

    我们设子矩阵左上位置为(xa,ya),右下位置为(xb,yb)。从而确定子矩阵的形状。

    观察下图

    可发现若想对子矩阵区域加上x,可先将红色区域b[xa][ya]加上x,在将橙色区域b[xa][yb+1]与蓝色区域b[xb+1][ya]减去x进行抵消,再将重复减去的紫色区域b[xb+1][yb+1]的内容加上来。

    1. b[xa][ya]+=x
    2. b[xa][yb+1]-=x
    3. b[xb+1][ya]-=x
    4. b[xb+1][yb+1]+=x

    之后再对差分数组进行前缀和处理即可。

    习题强化

    P1115 最大子段和

    #include <iostream>
    #include <cstdio>
    using namespace std;
    int n;
    int a[200005];
    int dp[200005];
    /*
    a[i]
    dp[i]=max(dp[i-1]+a[i],a[i])
     */
    int maxs=-2e9;
    int main(){
    	cin>>n;
    	for(int i=1;i<=n;i++){
    		cin>>a[i];
    		dp[i]=max(dp[i-1]+a[i],a[i]);
    		maxs=max(dp[i],maxs);
    	}
    	cout<<maxs;
    	return 0;
    }
    

    P1719 最大加权矩形

    #include <iostream>
    #include <cstdio>
    #include <algorithm>
    using namespace std;
    
    const int N=125;
    int n;
    int a[N][N],s[N][N];
    
    int subSum(int xa,int ya,int xb,int yb){
    	return s[xb][yb]-s[xa-1][yb]-s[xb][ya-1]+s[xa-1][ya-1];
    }
    
    int main(){
    	cin>>n;
    	for(int i=1;i<=n;i++){
    		for(int j=1;j<=n;j++){
    			cin>>a[i][j];
    			s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a[i][j];
    		}
    	}
    	int ans=-80000;
    	for(int xa=1;xa<=n;xa++){
    		for(int ya=1;ya<=n;ya++){
    			for(int xb=xa;xb<=n;xb++){
    				for(int yb=ya;yb<=n;yb++){
    					int sum=subSum(xa,ya,xb,yb);
    					ans=max(ans,sum);
    				}
    			}
    		}
    	}
    	cout<<ans;
    	return 0;
    }
    

    P2367 语文成绩

    #include <iostream>
    #include <cstdio>
    #include <cstring>
    using namespace std;
    int n,p;
    int a[5000005];
    int b[5000005];
    
    int main(){
    	int x,y,z;
    	cin>>n>>p;
    	for(int i=1;i<=n;i++){
    		cin>>a[i];
    		b[i]=a[i]-a[i-1];
    	}
    	while(p--){
    		cin>>x>>y>>z;
    		b[x]+=z;
    		b[y+1]-=z;
    	}
    	memset(a,0,sizeof(a));
    	int mins=105;
    	for(int i=1;i<=n;i++){
    		a[i]=a[i-1]+b[i];
    		mins=min(mins,a[i]);
    	}
    	cout<<mins;
    	return 0;
    }
    

    P3397 地毯

    #include <iostream>
    using namespace std;
    const int N=1e3+5;
    int a[N][N];
    int s[N][N];
    int n,m;
    int main(){
    	int xa,ya,xb,yb;
    	cin>>n>>m;
    	for(int i=1;i<=m;i++){
    		cin>>xa>>ya>>xb>>yb;
    		a[xa][ya]++;
    		a[xa][yb+1]--;
    		a[xb+1][ya]--;
    		a[xb+1][yb+1]++;
    	}
    	for(int i=1;i<=n;i++){
    		for(int j=1;j<=n;j++){
    			s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a[i][j];
    			cout<<s[i][j]<<" ";
    		}
    		cout<<endl;
    	}
    	return 0;
    }
    
    
    不积硅步,无以至千里。
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/wyloving/p/15662783.html
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