BZOJ2200 道路和航线【好题】【dfs】【最短路】【缩点】

Farmer John正在一个新的销售区域对他的牛奶销售方案进行调查。他想把牛奶送到T个城镇 (1 <= T <= 25,000)，编号为1T。这些城镇之间通过R条道路 (1 <= R <= 50,000，编号为1到R) 和P条航线 (1 <= P <= 50,000，编号为1到P) 连接。每条道路i或者航线i连接城镇A_i (1 <= A_i <= T)到B_i (1 <= B_i <= T)，花费为C_i。对于道路，0 <= C_i <= 10,000;然而航线的花费很神奇，花费C_i可能是负数(-10,000 <= C_i <= 10,000)。道路是双向的，可以从A_i到B_i，也可以从B_i到A_i，花费都是C_i。然而航线与之不同，只可以从A_i到B_i。事实上，由于最近恐怖主义太嚣张，为了社会和谐，出台了一些政策保证：如果有一条航线可以从A_i到B_i，那么保证不可能通过一些道路和航线从B_i回到A_i。由于FJ的奶牛世界公认十分给力，他需要运送奶牛到每一个城镇。他想找到从发送中心城镇S(1 <= S <= T) 把奶牛送到每个城镇的最便宜的方案，或者知道这是不可能的。

Input

* 第1行：四个空格隔开的整数: T, R, P, and S * 第2到R+1行：三个空格隔开的整数（表示一条道路）：A_i, B_i 和 C_i * 第R+2到R+P+1行：三个空格隔开的整数（表示一条航线）：A_i, B_i 和 C_i

Output

* 第1到T行：从S到达城镇i的最小花费，如果不存在输出"NO PATH"。

Sample Input

6 3 3 4
1 2 5
3 4 5
5 6 10
3 5 -100
4 6 -100
1 3 -10

样例输入解释：

一共六个城镇。在1-2，3-4，5-6之间有道路，花费分别是5，5，10。同时有三条航线：3->5，
4->6和1->3，花费分别是-100，-100，-10。FJ的中心城镇在城镇4。

Sample Output

NO PATH
NO PATH
5
0
-95
-100

样例输出解释：

FJ的奶牛从4号城镇开始，可以通过道路到达3号城镇。然后他们会通过航线达到5和6号城镇。
但是不可能到达1和2号城镇。

HINT

Source

$N$个点，$R$个无向边$P$个有向边。每条边上有一个权值，无向边的权值一定是正数，有向边可能为负。现在从$S$出发，问到达其他各点的最短路。

因为有负边，所以dijkstra不能用了。数据造的卡spfa了，据说用spfa优化可以过。

这里用的lyd书上说的解法，缩点然后拓扑序扫描求出单源最短路。复杂度是$O(T+P+RlogT)

由于无向边都是非负的，只有单向边可能是负的并且单向边不构成环。所以可以把图变成一个有向无环图。

首先我们添加所有的无向边，这会使得$N$个节点形成若干个联通块。我们把这些连通块整体看成一个点【缩点】。此时再添加有向边，就可以得到一张有向无环图。而在一个连通块内部我们可以使用堆优化的dijkstra计算块内的最短路。

1、使用dfs构建连通块，$vis[i]$记录的是第$i$个节点所在连通块的编号。

3、建立队列进行拓扑排序，最初时包含所有入度为$0$的连通块编号。初始化最短路数组$d$,$d[S] = 0$, 其他点为$inf$

4、使用堆优化的dijkstra处理每一个连通块。每次从堆中取出$d$最小的节点$x$，并且扫描$x$出发的所有边（包括无向和有向），进行松弛操作。

　　如果这条边的终点$y$和$x$在同一个连通块中，并且$d[y]$被$d[x]$更新了，就把$y$加入到堆中（与dijkstra相同）

　　如果终点和$x$不在同一个连通块中了，需要做的是拓扑排序的步骤。将$y$对应的连通块的入度减$1$，如果入度是0了，就可以插入到拓扑排序的队列末尾了。

1、在有向无环图上，无论边权正负，都可以按照拓扑序进行扫描，在线性时间内求出单源最短路。

2、spfa一种名为SLF的优化策略：基于双端队列的思想。在每次更新$dist[y]$之后，把$dist[y]$与当前队头节点（即把$x$出队以后，队头的那个节点）的$dist$值进行比较。若$dist[y]$更小，则从队头把$y$入队，否则仍从队尾入队。