• 蓝书【数学基础】阅读笔记


    加法原理 乘法原理 容斥原理

    组合数性质

    1:C(n,0)=C(n,n)=1

    2:C(n,k)=C(n,n-k)

    3:C(n,k)+C(n,k+1)=C(n+1,k+1)

    4:C(n,k+1)= C(n,k)*(n-k)/(k + 1)

    素数表

    const int maxn = 10000000 + 10;
    const int maxp = 700000;
    
    int vis[maxn];//vis[i]=1,i是合数
    int prime[maxp];
    
    //筛素数
    void sieve(int n){
        int m = (int)sqrt(n + 0.5);
        memset(vis, 0, sizeof(vis));
        for(int i = 2; i <= m; i++) 
            if(!vis[i])
                for(int j = i * i; j <= n; j+= i)
                    vis[j] = 1;    
    }
    
    int gen_primes(int n){
        sieve(n);
        int c = 0;
        for(int i = 2; i <= n; i++)
            if(!vis[i])
                prime[c++] = i;
        return c;
    }
    
    

    欧几里得和扩展欧几里得

    typedef long long LL;
    
    LL gcd(LL a, LL b){
        return b == 0?a:gcd(b, a % b);
    }
    
    //求整数x和y, 是的ax+by=d, 且|x| + |y|最小。其中d=gcd(a,b)
    //即使a, b在int范围,x和y也有可能超出int范围
    void exgcd(LL a, LL b, LL& d, LL& x, LL& y){
        if(!b){
            d = a;x = 1; y = 0;
        }
        else{exgcd(b, a % b, d, y, x);y -= x* (a / b);}
    }

    幂取模

    LL pow_mod(LL a, LL p, LL mod){
        if(p == 0) return 1;
        LL ans = pow_mod(a, p / 2, mod);
        ans = ans * ans % mod;
        if(p % 2 == 1) ans = ans * a % mod;
        return ans;
    }

    欧拉phi函数

    phi(x) = 不超过x且和x互素的整数个数

    int euler_phi(int n)
    {
        int m = (int)sqrt(n + 0.5);
        int ans = n;
        for(int i = 2; i <= m; i++)
            if(n % i == 0){
                ans = ans / i * (i - 1);
                while(n % i == 0) n /= i;
            }
            if(n > 1) ans = ans / n * (n - 1);
    }
    int phi[maxn];
    void phi_table(int n)
    {
        for(int i = 2; i <= n; i ++)phi[i] = 0;
        phi[1] = 1;
        for(int i = 2; i <= n; i++){
            if(!phi[i]){
                for(int j = i; j <= n; j += i){
                    if(!phi[j])
                        phi[j] = j;
                    phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);
                }
            }
        }
    }
    

    剩余系 整数n所有可能的余数

    完全剩余系Zn{0, 1, 2, ... , n - 1}, 每个元素代表所有与他同余的整数,每个元素对应一个同余等价类

    简化剩余系(缩系) 完全剩余系中与n互素的元素

    模加法 模乘法

    模乘法的逆  Zn中的两个元素a和b满足ab=1

    在Z15中7^-1 = 13 , 3/7=9的含义是“假定有两个整数a和b, 其中a/b是整数,且a和b除以15的余数分别为3和7, 则a/b除以15的余数等于9”

    //计算模n下a的逆,如果不存在逆,返回-1
    LL inv(LL a, LL n)
    {
        LL d, x, y;
        gcd(a, n, d, x, y);
        return d == 1?(x + n) % n : -1;
    }
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/wyboooo/p/9643378.html
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