洛谷P1417 烹调方案【dp】

题目：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1417

题意：

一道菜有$a,b,c$三个值。烧一道菜的时间是$c$。得到的价值是，$a-t*b$其中$t$是菜完成的时间。

问用总时间t可以烧多少菜使得总价值最大。

思路：

很容易可以想到背包，一道菜做或是不做。

即$dp[t][i] = max(dp[t][i-1], dp[t-c_i][i-1]+a_i-t*b_i)$

但是由于$t$会影响到菜的价值，也就是说菜的顺序也是有影响的。所以并不是简单的背包。

考虑两道菜$x,y$，分别考虑先做$x$和先做$y$的情况，所得到的价值分别是：

$a_x-t*b_x+a_y-(t+c_x)*b_y$和$a_y-t*b_y+a_x-(t+c_y)*b_x$，可以发现这里可以贪心。

也就是如果$c_x*b_y > c_y*b_x$那么x在前可以得到更大的价值。按着个排个序再进行背包。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<map>
#include<set>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cmath> 
#include<stack>
#include<queue>
#include<iostream>

#define inf 0x7fffffff
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<string, string> pr;

int n, t;
const int maxn = 55;
const int maxt = 100005;
struct node{
    LL a, b, c;
}food[maxn];
LL dp[maxt][maxn];

bool cmp(node a, node b)
{
    return a.c * b.b < b.c * a.b;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &t, &n);
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        scanf("%lld", &food[i].a);
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        scanf("%lld", &food[i].b);
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        scanf("%lld", &food[i].c);
    }
    sort(food + 1, food + 1 + n, cmp);
    
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        for(int j = t; j >= 0; j--){
            if(j >= food[i].c)dp[j][i] = max(dp[j][i - 1], dp[j - food[i].c][i - 1] + food[i].a - (j) * food[i].b);
            else dp[j][i] = dp[j][i - 1];
        }
    }
    LL ans = 0;
    for(int j = 0; j <= t; j++){
        ans = max(ans, dp[j][n]);
    }
    printf("%lld
", ans);
    
    return 0; 
}