• 高斯消元法


    高斯消元法

    可以用于求解线性方程组,即n元1次方程组。利用矩阵,大致思路与普通解方程方法类似。只是更具一般性。将系数与右侧的常数存成一个矩阵,然后每次用第i行消去下面每行的第i个系数,最后就会得到一个一元方程,然后从后到前依次代回即可。

      然后就是精度的问题,因为计算机中没有分数,所以只能用double来存,但是double的精度也是有限的,所以要想办法维护精度。

      第一种优化办法就是在用第i行去消第i个系数时,从下面所有行中选择第i个系数的绝对值最大的一个与当前行交换,这样可以使每次消元时差距尽量大,然后就可以保持精度了。

      第二种优化就是在进行消元时,不是用一个变量来储存两行首元素的商,而是每次直接计算。这样就必须防止第一行提前被修改,所以倒着进行修改。

    代码:

     1 #include<cstdio>
     2 #include<cstring>
     3 #include<iostream>
     4 #include<cmath>
     5 using namespace std;
     6 const int N=110,M=1010;
     7 int n,m;
     8 double a[N][N],tmp[N][N],ans[N];
     9 inline void work()
    10 {
    11     for(int i=1;i<=n;++i)
    12     {
    13         int kk=i;
    14         for(int j=i+1;j<=n;++j)
    15             if(abs(a[kk][i])<abs(a[j][i]))
    16                 kk=j;
    17         if(kk!=i)
    18         for(int j=1;j<=n+1;++j)
    19             swap(a[kk][j],a[i][j]);
    20         for(int j=i+1;j<=n;++j)
    21         {
    22             for(int k=n+1;k>=i;--k)
    23                 a[j][k]=a[j][k]-a[j][i]/a[i][i]*a[i][k];
    24         }
    25     }
    26     
    27     for(int i=n;i>=1;--i)
    28     {
    29         for(int j=n;j>i;--j)
    30         {
    31             a[i][j]*=ans[j];
    32             a[i][n+1]-=a[i][j];
    33         }
    34         ans[i]=a[i][n+1]/a[i][i];
    35     }
    36 }
    37 int main()
    38 {
    39     scanf("%d%d",&n,&m);
    40     for(int i=1;i<=n;++i)
    41         for(int j=1;j<=n;++j)
    42             scanf("%lf",&tmp[i][j]);
    43     for(int k=1;k<=m;++k)
    44     {
    45         memset(ans,0,sizeof(ans));
    46         memset(a,0,sizeof(a));
    47         for(int i=1;i<=n;++i)
    48             for(int j=1;j<=n;++j)
    49                 a[i][j]=tmp[i][j];
    50         for(int j=1;j<=n;++j)
    51             scanf("%lf",&a[j][n+1]);
    52         work();
    53         for(int i=1;i<=n;++i)
    54             printf("%.9llf ",ans[i]);
    55         printf("
    ");
    56     }
    57     return 0;
    58 }
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