题目
定义(f(i))为(i)的所有约数的异或和，给定 (n(1le n le 10^{14})) ，求(f(1) xor f(2) xor f(3) xor...xor f(n)) （其中(xor)表示按位异或）
思路
首先考虑到枚举因数(x)，然后算出他是小于等于(n)的数字中(x)的倍数的个数,即(lfloor frac{n}{x} floor),然后根据奇偶性判断是否要异或(x)
这样复杂度是(O(n))的，看到(frac{n}{x})很容易想到数论分块。
然后问题就是如何快速查询连续区间的异或和。
设(s[x]=1^wedge2^wedge3...^wedge x)
那么区间([l,r])的异或和就是(s[r]^wedge s[l - 1])
然后对于(s)数组打个表如下
可以发现在模(4)意义下是有规律的。然后就可以(O(1))计算连续区间异或和了。
代码
/*
* @Author: wxyww
* @Date: 2019-03-24 14:06:25
* @Last Modified time: 2019-03-24 14:23:58
*/
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll read() {
ll x=0,f=1;char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9') {
if(c=='-') f=-1;
c=getchar();
}
while(c>='0'&&c<='9') {
x=x*10+c-'0';
c=getchar();
}
return x*f;
}
ll n;
ll query(ll l) {
if(l % 4 == 1) l = 1;
else if(l % 4 == 2) ++l;
else if(l % 4 == 3) l = 0;
return l;
}
int main() {
n = read();
ll ans = 0;
for(ll l = 1,r;l <= n;l = r + 1) {
r = n / (n / l);
if((n / l) & 1)
ans ^= query(l - 1) ^ query(r);
}
cout<<ans;
return 0;
}