思路
首先这是一个阶梯博弈。
我们将金币两两组合，如果对方移动前一个，那么我们把后一个移动相同的距离，局面相当于没有变化。如果对方移动后一个，就相当于(NIM)游戏中，取走了一些石子。
所以这个游戏也就是金币两两组合后，有(lceil frac{m}{2} ceil) 堆石子，进行(NIM)游戏
统计方案
然后考虑如何统计方案。
根据上面的结论。也就是我们要找出(lceil frac{m}{2} ceil)堆石子，使他们个数异或和为0。
(f[i][j])表示异或和的前i位异或起来为(0)，已经有了j个石子的方案数。
就有如下的转移$$f[i][j]=sumlimits_{k=0}^{2 ^{2k}le j&kle lceilfrac{m}{2} ceil}{f[i-1][j-2^{2k}] imes (^{lceil frac{m}{2} ceil}_{2k})}$$
然后再考虑这(lceil frac{m}{2} ceil)堆石子的位置。
利用隔板法。就相当于把(frac{m}{2})个挡板插到了长度为(n-i)(i为所放的石子长度)的序列里。
代码
/*
* @Author: wxyww
* @Date: 2019-05-11 18:24:32
* @Last Modified time: 2019-05-15 09:49:57
*/
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 150000 + 100,mod = 1e9 + 9;
#define int ll
ll read() {
ll x=0,f=1;char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9') {
if(c=='-') f=-1;
c=getchar();
}
while(c>='0'&&c<='9') {
x=x*10+c-'0';
c=getchar();
}
return x*f;
}
int inv[N],f[20][N],jc[N];
int qm(int x,int y) {
int ret = 1;
for(;y;y >>= 1,x = 1ll * x * x % mod)
if(y & 1) ret = 1ll * ret * x % mod;
return ret;
}
int C(int x,int y) {
return 1ll * jc[x] * inv[y] % mod * inv[x - y] % mod;
}
signed main() {
int n = read(),m = read();
//预处理
jc[0] = 1;
for(int i = 1;i <= n + m;++i) jc[i] = 1ll * jc[i - 1] * i % mod;
inv[0] = 1;
for(int i = 1;i <= n + m;++i) inv[i] = qm(jc[i],mod - 2);
int ans = C(n,m);
n -= m;
int num = (m + 1) >> 1;
//dp
f[0][0] = 1;
for(int i = 1;i <= 19;++i) {
int z = i - 1;
for(int j = 0;j <= n;++j) {
for(int k = 0;(k << z) <= j && k <= num;k += 2) {
f[i][j] += 1ll * f[i - 1][j - (k << z)] * C(num,k) % mod;
f[i][j] %= mod;
}
}
}
//统计答案
for(int i = 0;i <= n;++i) {
ans -= 1ll * f[19][i] * C(m / 2 + n - i,m / 2) % mod;
ans = (ans + mod) % mod;
}
cout<<ans;
return 0;
}