Description
求(n)个点无重边、无自环、带标号的无向联通图个数，对(1004535809)((479 imes 2^{21} + 1))取模。(n le 130000)
Solution
模数好像是在提示了......这个模数非常适合(NTT)。
还是想题吧。首先问自己一个问题：不要求联通会不会？不会
不连通的话最多有(inom{n}{2})条边，总方案数就是这些边选不选的问题，即(2^{inom{n}{2}})。
我们令不要求联通的(n)个点形成的简单无向图个数为(g_n)，联通图个数为(f_n)，不难发现有这个柿子
[g_n = sumlimits_{i=1}^n inom{n-1}{i-1}f_ig_{n-i}
]
意思是我枚举(1)号点所在联通块的大小，然后把这个联通快孤立起来，剩下的点随便连边。
看到这个柿子想卷积？有组合数不方便卷，我们观察到
[inom{n-1}{i-1} = frac{(n-1)!}{(n-i)!(i-1)!}
]
不妨把两边同时乘(frac{1}{(n-1)!})，然后再把剩下的分母分配一下
[frac{g_n}{(n-1)!} = sumlimits_{i=1}^{n}frac{f_i}{(i-1)!}frac{g_{n-i}}{(n-i)!}
]
这个柿子就非常好做，我们令(h_n = frac{g_n}{(n-1)!})，然后用(frac{f_n}{(n-1)!})代替(f_n)，(frac{g_n}{n!})代替(g_n)，分别得到(h,f,g)的生成函数
[H(x) = sumlimits_{n=0}^{infty} h_nx^n
]
[F(x) = sumlimits_{n=0}^{infty} f_nx^n
]
[G(x) = sumlimits_{n=0}^{infty} g_nx^n
]
显然有
[H(x) = F(x)G(x)
]
因为答案只与(f_n)有关，我们可以放到(mod x^{n+1})下求(F(x))。
即
[F(x) equiv G^{-1}(x)H(x) (mod x^{n+1})
]
对(G)求逆过后与(H)卷积，就求出了(F(x))，然后答案就是(f_n imes (n-1)!)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int P=1004535809,g=3,ig=334845270,N=500010;
inline int add(int x,int y){return x+y>=P?x+y-P:x+y;}
inline int sub(int x,int y){return x-y<0?x-y+P:x-y;}
inline int fpow(int x,int y){
int ret=1; for (x%=P;y;y>>=1,x=1ll*x*x%P)
if (y&1) ret=1ll*ret*x%P;
return ret;
}
namespace Poly{
int rev[N];
void init(int limit){
for (int i=0;i<limit;i++)
rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)?limit>>1:0);
}
void ntt(int *f,int n,int flg){
for (int i=0;i<n;i++) if (rev[i]<i) swap(f[i],f[rev[i]]);
for (int k=1,len=2;len<=n;len<<=1,k<<=1){
int wn=fpow(flg==1?g:ig,(P-1)/len);
for (int i=0;i<n;i+=len){
for (int w=1,j=i;j<i+k;j++,w=1ll*w*wn%P){
int tmp=1ll*w*f[j+k]%P;
f[j+k]=sub(f[j],tmp),f[j]=add(f[j],tmp);
}
}
}
if (flg==-1){
int inv=fpow(n,P-2);
for (int i=0;i<n;i++) f[i]=1ll*f[i]*inv%P;
}
}
int F[N];
void getinv(int *f,int n,int *G){
if (n==1){G[0]=fpow(f[0],P-2);return;}
getinv(f,(n+1)>>1,G);
int limit=1; while(limit<=2*n)limit<<=1; init(limit);
for (int i=0;i<n;i++) F[i]=f[i];
// cout<<"wtf: "; for (int i=0;i<n;i++) cout<<G[i]<<" "; cout<<endl;
for (int i=n;i<limit;i++) F[i]=G[i]=0;
ntt(F,limit,1),ntt(G,limit,1);
for (int i=0;i<limit;i++) G[i]=1ll*G[i]*sub(2,1ll*F[i]*G[i]%P)%P;
ntt(G,limit,-1);
for (int i=n;i<limit;i++) G[i]=0;
}
}
using Poly::ntt;
using Poly::getinv;
int G[N],iG[N],H[N],F[N];
int ifac[N],inv[N],fac[N];
int main(){
int n; scanf("%d",&n);
fac[0]=fac[1]=ifac[0]=ifac[1]=1,inv[1]=1;
for (int i=2;i<=n;i++){
inv[i]=1ll*inv[P%i]*(P-P/i)%P;
ifac[i]=1ll*ifac[i-1]*inv[i]%P;
fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%P;
}
G[0]=1;
for (int i=1;i<=n;i++)
G[i]=1ll*fpow(2,1ll*i*(i-1)/2%(P-1))*ifac[i]%P,H[i]=1ll*G[i]*i%P;
getinv(G,n+1,iG);
int limit=1; while(limit<=2*n)limit<<=1; Poly::init(limit);
ntt(iG,limit,1),ntt(H,limit,1);
for (int i=0;i<limit;i++) F[i]=1ll*iG[i]*H[i]%P;
ntt(F,limit,-1);
printf("%d
",1ll*F[n]*fac[n-1]%P);
return 0;
}