完全背包问题

问题描述：

有一个容量为c的背包，有n种物品，第i种物品的重量是wi，价值是vi；可以拿走一种物品的全部或者部分。怎样才能使背包装入的物品价值最大？

分析：

与0-1背包不同的是可以装入一种物品的一部分，在0-1背包只能用动态规划的方法来解，具体证明见《算法导论》，完全背包问题可以用动态规划来解也可以用贪心法来解，两个问题都具有最优子结构的性质。完全背包问题用贪心法来解更加高效简单。

在完全背包中只需要每次选择单位价值最大的，到最后可以选择一种物品的一部分。这样就可以得出最优解。

如果不加上排序消耗的时间，算法的时间复杂度为O(n)，加上排序最好的时间复杂度为O(nlogn+n)

实现代码：

package all_pakage;

import java.util.Arrays;


/**
 *@Description:TODO<p>贪心法解完全背包问题 </p><br/>
 *@author 王旭
 *@time 2015-10-28 下午9:20:56
 */
public class All_Pakage{
    
    public class Item  implements Comparable<Item> {
        public double w;
        public double v;
        
        public Item(double w, double v) {
            this.w = w;
            this.v = v;
        }
        
        @Override
        public int compareTo(Item o) {
            return (this.v/this.w - o.v/o.w)<0.0? 1:0;
        }
        
    }
    
    
    
    
    public static double[] knapSack(Item[] items, double c) {
        int n = items.length;
        double[] res = new double[n];
        int i;
        for(i=0; i<n; i++) {
            if(items[i].w > c) {
                break;
            }
            res[i] = 1;
            c -= items[i].w;
        }
        
        if(i < n) {
            res[i] = c/items[i].w;
        }
        
        
        return res;
    }

}

测试代码：

public static void main(String[] args) {
        
        All_Pakage a = new All_Pakage();
        Item[] items = {a.new Item(30,120), a.new Item(10,60), a.new Item(20,100), };
        //sort 按单位价值降序排列
        Arrays.sort(items);
        for(int i=0;i<items.length; i++) {
            System.out.printf("第%d个物品重%.1f,价值%.1f
", i+1, items[i].w, items[i].v);
        }
        System.out.println();
        double[] res = knapSack(items, 50);
        
        System.out.println("背包的最优解:");
        for(int i=0; i<res.length; i++) {
            System.out.printf("%.2f个第%d个物品
", res[i], i+1);
        }
}

运行结果：

第1个物品重10.0,价值60.0
第2个物品重20.0,价值100.0
第3个物品重30.0,价值120.0

背包的最优解:
1.00个第1个物品
1.00个第2个物品
0.67个第3个物品