• 最长公共子序列问题


    最长公共子序列:

    给定一个序列X={x1,x2,x3...xm},另一个序列Z={z1,z2,z3...zk}满足如下条件时称为X的子序列,即存在一个严格递增的X的下标序列<i1,i2...ik>对所有j=1,2...k满足xi=zj。给定两个序列X,Y,如果既是X的子序列又是Y的子序列,那就称为X,Y的公共子序列。最长公共子序列就是所有子序列中最长的一个或几个。

    用动态规划法来解最长公共子序列问题:

    1.刻画最长公共子序列的特征

    令X={x1,x2,x3...xm},Y={y1,y2,y3...yn},Z={z1,z2,z3...zk}是X,Y的公共子序列。

    LCS的最优子结构为:

    1.if xm==yn 则zk==xm==yn且zk-1是xm-1,yn-1的LCS

    2. if xm != yn 那么zk!=xm意味着Z是xm-1和Y的LCS

    3.if xm != yn 那么zk!=yn意味着Z是X和yn-1的LCS

    2.递归解

    定义c[i][j表示Xi和YjLCS长度,有如下公式:

                 0            i==0 || j==0

    c[i][j] =          c[i-1][j-1]+1      i,j>0&&xi==yj

          max(c[i][j-1], c[i-1][j])       i,j>0&&xi!=yj

    3.计算LCS长度

    用b[i][j]来保存子问题的最优解

    伪码:(算法导论)

    c[i][j]和吧b[i][j]的跟踪

    4.构造LCS

    伪码:

    实现代码:

    package dp_lcs;
    
    /**
     *最长公共子序列
     *@author wxisme
     *@time 2015-10-22 下午4:49:44
     */
    public class Solve_LCS {
        
        public static char[] x;
        
        public static char[] y;
        
        public static int[][] c; //c[i][j]表示xi,yj的lcs
        public static int[][] b; //记录最优值
        
        /**
         * 计算LCS
         */
        public static void lcs_length() {
            int m = x.length+1;
            int n = y.length+1;
            
            c = new int[m][n];
            b = new int[m][n];
            
            for(int i=0; i<m; i++)
                c[i][0] = 0;
            
            for(int j=0; j<n; j++)
                c[0][j] = 0;
            
            for(int i=1; i<m; i++) {
                for(int j=1; j<n; j++) {
                    if(x[i-1] == y[j-1]) {
                        c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
                        b[i][j] = 1; //左上
                    }
                    
                    else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1]) {
                        c[i][j] = c[i-1][j];
                        b[i][j] = 2; //
                    }
                    
                    else {
                        c[i][j] = c[i][j-1];
                        b[i][j] = 3; //
                    }
                    
                }
            }
            
        }
        
        /**
         * 构造LCS
         * @param i
         * @param j
         */
        public static void print_LCS(int i, int j) {
            if(i==0 || j==0) 
                return ;
            
            if(b[i][j] == 1) {
                print_LCS(i-1, j-1);
                System.out.print(x[i-1]);
            }
            else if(b[i][j] == 2) {
                print_LCS(i-1, j);
            }
            else {
                print_LCS(i, j-1);
            }
            
        }
        
    }

    测试数据:

    public static void main(String[] args) {
            Solve_LCS ret = new Solve_LCS();
            x = new char[]{'A', 'B', 'C', 'B', 'D', 'A', 'B'};
            y = new char[]{'B', 'D', 'C', 'A', 'B', 'A'};
            
            
            ret.lcs_length();
            
            ret.print_LCS(x.length, y.length);
        }

    结果:

    BCBA
    

    参考算法导论第三版

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/wxisme/p/4902647.html
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