• 矩阵连乘问题


    【问题】

    给定n个矩阵的链<A1,A2,…,An>,其中Ai与是Ai-1可乘的,矩阵Ai的维数为pi-1*pi(1≤i≤n),

    如何确定计算矩阵链乘积A1A2…An的计算次序(完全括号化方式),使得依此次序计算矩阵链乘积需要的数乘次数最少。

    【算法分析】

    将矩阵连乘积AiAi-1...Aj简记为A[i:j] ,i≤j  。

    考察计算A[i:j]的最优计算次序。设这个计算次序在矩阵Ak和Ak+1之间将矩阵链断开,i≤k<j,则其相应完全加括号方式为:

    (AiAi+1...Ak)(Ak+1Ak+2...Aj)

    计算量:A[i:k]的计算量加上A[k+1:j]的计算量,再加上A[i:k]和A[k+1:j]相乘的计算量。

    特征:计算A[i:j]的最优次序所包含的计算矩阵子链 A[i:k]和A[k+1:j]的次序也是最优的。

    矩阵连乘计算次序问题的最优解包含着其子问题的最优解,这种性质称为最优子结构性质。

    递归式如下:

    【源代码】

    代码(1)

    #include <iostream>
    
    using namespace std;
    
    void MatrixChain(int p[], int **m, int **s, int n)
    {
        //将对角线元素赋值为零,即单个矩阵计算量为0
        for (int i = 1; i <= n; i++) m[i][i] = 0;
        //r是矩阵相乘个数
        for (int r = 2; r <= n; r++)
            for (int i = 1; i <= n - r+1; i++)
            {
                int j = i + r - 1;
                //计算A[i, j] = A[i: i] A[i+1: j]
                m[i][j] = m[i + 1][j] + p[i-1] * p[i] * p[j];
                s[i][j] = i;  //记下断点i
                for (int k = i + 1; k < j; k++)
                {
                    //对i<k<j, 逐个计算A[i, j] = A[i: k] A[k+1: j]
                    int t = m[i][k] + m[k + 1][j] + p[i-1] * p[k] * p[j];
                    //记下较小的m[i][j]及相应的断点k
                    if (t < m[i][j])
                    {
                        m[i][j] = t;
                        s[i][j] = k;
                    }
                }
            }
    }
    
    //找出s数组中记录的最优断开点
    void Traceback(int i, int j, int **s)
    {
        if (i == j)
        {
            cout << "A" << i;
            return;
        }
        cout << "(";
        Traceback(i, s[i][j], s);
        Traceback(s[i][j] + 1, j, s);
        cout << ")";
    }
    
    
    
    int main() {
        const int n = 6;
        int p[n + 1] = {30,35,15,5,10,20,25 };
        int **m = new int*[n+1];
        int **s = new int*[n+1];
        for (int i = 0; i < n+1; i++)
        {
            m[i] = new int[n+1];
            s[i] = new int[n+1];
        }
    
        MatrixChain(p, m, s, n);
        Traceback(1, n, s);
    
        for (int i = 0; i < n+1; i++)
        {
            delete[] m[i];
            delete[] s[i];
        }
        delete[]m;
        delete[]s;
        return 0;
    }

    代码(2)

    #include <iostream>
    
    using namespace std;
    
    void MatrixChain(int p[], int **m, int **s, int n)
    {
        //将对角线元素赋值为零,即单个矩阵计算量为0
        for (int i = 0; i < n; i++) m[i][i] = 0;
        //r是矩阵相乘个数
        for (int r = 2; r <= n; r++)
            for (int i = 0; i <= n - r; i++)
            {
                int j = i + r - 1;
                //计算A[i, j] = A[i: i] A[i+1: j]
                m[i][j] = m[i + 1][j] + p[i] * p[i + 1] * p[j + 1];
                s[i][j] = i;  //记下断点i
                for (int k = i + 1; k < j; k++)
                {
                    //对i<k<j, 逐个计算A[i, j] = A[i: k] A[k+1: j]
                    int t = m[i][k] + m[k + 1][j] + p[i] * p[k + 1] * p[j + 1];
                    //记下较小的m[i][j]及相应的断点k
                    if (t < m[i][j])
                    {
                        m[i][j] = t;  s[i][j] = k;
                    }
                }
            }
    }
    
    //找出s数组中记录的最优断开点
    void Traceback(int i, int j, int **s)
    {
        if (i == j)
        {
            cout << "A" << i + 1;
            return;
        }
        cout << "(";
        Traceback(i, s[i][j], s);
        Traceback(s[i][j] + 1, j, s);
        cout << ")";
    }
    
    
    
    int main() {
        const int n = 6;
        int p[n + 1] = {30,35,15,5,10,20,25 };
        int **m = new int*[n];
        int **s = new int*[n];
        for (int i = 0; i < n; i++)
        {
            m[i] = new int[n];
            s[i] = new int[n];
        }
    
        MatrixChain(p, m, s, n);
        Traceback(0, n - 1, s);
    
        for (int i = 0; i < n; i++)
        {
            delete[] m[i];
            delete[] s[i];
        }
        delete[]m;
        delete[]s;
        return 0;
    }

     【算法复杂度分析】

    主要计算量取决于算法中对r,i和k的3重循环。
    算法的计算时间上界为O(n3)。
    算法所占用的空间为O(n2)。

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