试题 历届试题 数字游戏

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问题描述

　　栋栋正在和同学们玩一个数字游戏。

　　游戏的规则是这样的：栋栋和同学们一共n个人围坐在一圈。栋栋首先说出数字1。接下来，坐在栋栋左手边的同学要说下一个数字2。再下面的一个同学要从上一个同学说的数字往下数两个数说出来，也就是说4。下一个同学要往下数三个数，说7。依次类推。

　　为了使数字不至于太大，栋栋和同学们约定，当在心中数到 k-1 时，下一个数字从0开始数。例如，当k=13时，栋栋和同学们报出的前几个数依次为：
　　1, 2, 4, 7, 11, 3, 9, 3, 11, 7。

　　游戏进行了一会儿，栋栋想知道，到目前为止，他所有说出的数字的总和是多少。

 

输入格式

　　输入的第一行包含三个整数 n,k,T，其中 n 和 k 的意义如上面所述，T 表示到目前为止栋栋一共说出的数字个数。

 

输出格式

　　输出一行，包含一个整数，表示栋栋说出所有数的和。

 

样例输入

3 13 3

 

样例输出

17

 

样例说明

　　栋栋说出的数依次为1, 7, 9，和为17。

 

数据规模和约定

　　1 < n,k,T < 1,000,000；

 

思路

　　我原是想直接用公式来算出栋栋说的每个数字，然后对它们取模并相加，由题意可知，每个人说出的数（未对k取模的）之间的差值数列正好是公差为1的等差数列，那么每个人说出的数刚好可以用等差数列和的公式计算，即：S_i = 1+i+i*(i-1)/2. 那么栋栋说的数就是 S_i*n (i=0, 1, 2, , ,).

　　但是写完提交之后才发现S可能会超出long long范围，最后一个测试用例没过，只有83分，代码如下——

 

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>

using namespace std;
typedef long long ll;

int main() {
    ll n, k, t;
    ll ans=0;
    cin>>n>>k>>t;
    for(ll i=0; i<t; i++) {
        ll j=i*n;
        ll temp=j+1+j*(j-1)/2;
        ans+=temp%k;
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

　　于是就换了种思路，不直接套那个公式了，而是借助求出的栋栋说的前一个数来计算当前栋栋说的数，这样数据就不会超出long long范围了，具体分析如下——

当n=3，k=13时，栋栋和同学们报出的前几个数依次为：1, 2, 4, 7, 11, 3, 9, 3, 11, 7.

i=0: S₀=1;

i=1: S_n=S₀+(1+2+3)=7;··········a₁=1, b₁=a₁+n-1=3;

i=2: S_2n=(S_n+(4+5+6))%k=22%13=9; ····a₂=a₁+n=4, b₂=b₁+n=6;

i=3: S_3n=(S_2n+(7+8+9))%k=33%13=7;····a₃=a₂+n=7, b₃=b₂+n=9;

……

i=m: S_in=(S_(i-1)n+(a_i+...+b_i))%k = (S_(i-1)n+(a_i+b_i)*n/2)%k;(标红部分是等差数列，用等差数列求和公式计算)

 

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>

using namespace std;
typedef long long ll;

int main() {
    ll n, k, t;
    ll ans=1;
    cin>>n>>k>>t;
    ll pres=1, a=1, b=a+n-1;
    for(ll i=1; i<t; i++) {
        ll temp=(pres+(a+b)*n/2)%k;
        ans+=temp;
        pres=temp;
        a+=n;
        b+=n;
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}